Угол между прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых.
1. Если прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0,
то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами {A1,B1} и {A2,B2}. Следовательно,
. (7.10)
Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:
- условие параллельности, (7.11)
- условие перпендикулярности. (7.12).
2. Если прямые заданы каноническими уравнениями (7.5), по аналогии с пунктом 1 получим:
, (7.13)
- условие параллельности, (7.14)
- условие перпендикулярности. (7.16).
Здесь 
и 
- направляющие векторы прямых.
3. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами (7.8)
у = k1x +b1 и y = k2x + b2, где 
, а α1 и α2 – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α2 - α1. Тогда
. (7.17)
Условие параллельности имеет вид: k1=k2, (7.18)
условие перпендикулярности – k2=-1/k1, (7.19)
поскольку при этом tgφ не существует.
Расстояние от точки до прямой.
Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.
Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую
ОР равна р. С другой стороны, прnOM=n·OM. Поскольку
n={cosα, sinα}, a OM={x,y}, получаем, что
x cosα + y sinα = p, или
x cosα + y sinα - p = 0 - (7.20)
- искомое уравнение прямой L, называемое нормальным
уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан
с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).
Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонениеδ точки А от прямой L есть число +d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число –d, если они лежат по одну сторону от L.
Теорема 7.1. Отклонение точки А(х0,у0) от прямой L, заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:
. (7.21)
Доказательство.
Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна
n·OA=x0cosα + y0sinα. Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p=
x0cosα + y0sinα - p, что и требовалось доказать
Следствие.
Расстояние от точки до прямой определяется так:
(7.22).
Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число 
, причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.
Пример. Найдем расстояние от точки А(7,-3) до прямой, заданной уравнением
3х + 4у + 15 = 0. А² + B²=9+16=25, C=15>0, поэтому нормирующий множитель равен
-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: 
Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно
Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.
8. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.
Отметим, что многие утверждения и формулы, касающиеся плоскости в пространстве, доказываются и выводятся так же, как при изучении прямой на плоскости, поэтому в этих случаях будут даваться ссылки на предыдущую лекцию.
Плоскость в пространстве.
Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0 ,у0 ,z0) перпендикулярно вектору n= {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М0М = {x - x0 , y - y0 , z - z0) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0. (8.1)
Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:
Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)
где D = -Ax0 - By0 - Cz0. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.