Прямокутна (декартова) система координат в просторі задається трійкою попарно перпендикулярних осей.
Відстань між двома точками A(XA; YA; ZA) i B(XB; YB; ZB) в просторі визначається формулою
Якщо С(XС; YС; ZС) – середина відрізка AB, то
Якщо вектор a, який знаходиться в прямокутній системі координат OXYZ, має початком точку A з координатами XA, YA, ZA, а кінцем – точку B з координатами XB, YB, ZB, то числа XB - XA, YB - YA, ZB - ZA називається його координатами: a( XB - XA; YB - YA; ZB - ZA).
Довжина (модуль) цього вектора:
Сумою векторів a(XA; YA; ZA) і b(XB; YB; ZB) називається вектор c(XA + XB; YA + YB; ZA + ZB).
Добутком вектора a(XA; YA; ZA) на число λ називається вектор λa(λXA; λYA; λZA).
Скалярним добутком векторів a та b, якщо відомі їх координати, є величина a•a = XA•XB + YA•YB + ZA•ZB.
Для кута φ між векторами a та b
14. Скалярний добуток (англ. dotproduct, англ. scalarproduct, нім. Skalarprodukt, рос. скалярноепроизведение) — математична операція над двома векторами, результатом якої є скаляр. Скалярний добуток векторів та обчислюється за формулою: де Х та У є довжинами векторів, а дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: =
Два означення добутку векторів.
Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів
В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називається функція, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір.
43 Вибірка— це множина об'єктів, подій, зразків або сукупність вимірів, за допомогою визначеної процедури вибраних з статистичної популяції або генеральної сукупності для участі в дослідженні. Зазвичай, розміри популяції дуже великі, що робить прийняття до уваги всіх членів популяції непрактичним або неможливим. Вибірка представляє собою множину або сукупність певного обсягу, члени якої збираються і статистичні характеристики обчислюється таким чином, що в результаті можна зробити висновки або екстраполяцію із вибірки на всю популяцію або генеральну сукупність.
Генеральною сукупністюназ. імовірнісний простір тобто простір елементарних подій Ω із заданими на ньому полем подій S і ймовірностями Р) і визначена на цьому просторі випадкова величина Х.Одиницею генеральної сукупності наз. елементарна подія і значення випадкової величини, що їй відповідає.
Вибіркою об’єму n називають послідовність х1,х2,…хn, n незалежних однаково розподілених випадкових величин, розподіл кожної з яких співпадає з розподілом досліджуваної випадкової величини Х.
Тобто випадкова вибірка – це результат n послідовних і незалежих спостережень над випадковою величиною Х, що представляє генеральну сукупність.
Для кінцевої генеральної сукупності випадковий рівноможливий вибір на кожному кроці приводить до залежності окремих спостережень, випадковий рівноможливий вибір з поверненням до незалежності спостережень.
Конкретний набір вибіркових значень х1,х2,…хn слід розглядати як реалізацію (одну з багатьох) багатовимірної випадкової величини х1,х2,…хn, компоненти якої незалежні і мають одну і ту ж функцію розподілу F(x), що відповідає генеральній сукупності. Тому багатовимірна випадкова величина х1,х2,…хn, що характеризує вибірку,
варіаційним рядом (або генеральною сукупністю), побудованим за вибіркою X1, X2, ..., XN, називають послідовність xi, розміщених у порядку зростання: X[1]≤ X[2]≤...≤X[N]. Варіаційний ряд - упорядкована за величиною послідовність вибіркових значень спостережуваної випадкової величини рівні між собою елементи вибірки нумеруються в довільному порядку; елементи варіаційного ряду називаються порядковими (ранговими) статистиками; число λm = m / n називається рангом порядкової статистикиВаріаційний ряд використовується для побудови емпіричної функції розподілу. Якщо елементи варіаційного ряду незалежні і мають загальну щільність розподілу f, то спільна щільність розподілу елементів варіаційного ряду має вигляд
Гістогра́ма (від грец. histos, тут стовп + gramma — межа, буква, написання) — спосіб графічного представлення табличних даних. Являє собою діаграму, що складається з прямокутників без розривів між ними.
Побудова [ред.] Горизонтальні межі прямокутника — інтервал групування статистичного ряду. Нижня межа прямокутника розміщена на осі 0x, а висота задається формулою де — значення даного інтервалу статистичного ряду
, — кількість інтервалі— кількість інтервалів, а його ширина.
айчастіше, для зручності беруть рівномірне розбиття статистичного ряду, тобто однакові розміри інтервалів Таким чином, гістограма є графічним зображенням залежності частоти попадання елементів вибірки від відповідного інтервалу групування.