Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 9 страница
где DSi – площадь Gi , так как точка Vi = Z(xi , hi) .
Переходя в (4.1) к пределу при d®0 получаем
. (4.6)
Аналогично :
. (4.7)
G1 – проекция S на Oyz .
(4.8)
G2 – проекция S на Ozх .
4.4.1.Связь между поверхностными интегралами I и II рода
Пусть гладкая ориентированая поверхность , на которой задана непрерывная вектор – функция (М) = [ P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z)] , (M) – единичная нормаль = ( cosa , cosb , cosg ) , тогда
(4.9)
Отсюда видно , что если выбрать другую сторону поверхности , то направляющий косинус изменит знак .
Пример 4.4.2 Вычислить
, где S - поверхность треугольника , образованного пересечением плоскости х – у +z = 1 с координатными плоскостями : х = 0 , у = 0 , z = 0 в верхней стороне поверхности .
.
.
4.5.Формула Остроградского
4.5.1 Связь между поверхностным интегралом и тройным интегралом
Теорема 4.5.1 Если функции P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z)непрерывны вместе со своими частными производными I-го порядка в области V , ограниченной замкнутой поверхностью S , то имеет место формула
. (4.10)
Пример 4.5.1
,
где S – внешняя сторна сферы x2 + y2 + z2 = R2 .
Решение .
Применим формулу Остроградского :
Вводим сферические координаты
.
4.6.Связь поверхностного интеграла с криволинейным интегралом
4.6.1.Теорема Стокса
Рассмотрим формулу, связывающую поверхностный интеграл с криволинейным
Теорема 4.6.1.1. Если Р(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) есть непрерывные функции вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место формула
,
где L – граница поверхности S ; cosa , cosb , cosg - направляющие косинусы нормали к поверхности S .
Доказательство . Пусть уравнение поверхности S
Рис. 4.7.
Преобразуем сначало криволинейный интеграл по L в криволинейный интеграл по плоскому контуру l :
Т.к. S- верхняя сторона поверхности , т.е. cosg > 0 , то .
Но известно , что направляющие косинусы нормали пропорциональны соответствующим координатным нормалям , таким образом :
.
Следовательно,
Переходим к поверхностному интегралу =
(4.11)
2.Аналогично :
(4.12)
. (4.13)
3.Складывая (4.11),(4.12), (4.13) , получим доказываемую формулу .
Пример 4.6.1.1 Вычислить с помощью формулы Стокса ,
L- окружность
А поверхностью S служит верхняя сторона полусферы x2 + y2 +z2 =1.
.
Упражнения .
Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы первого рода по указанным поверхностям :
1.1 .П: полусфера
1.2 .П:поверхность параболоида вращения ограниченная плоскостями z = 0 ; z = 2 ; f(x,y,z) = x2 + y2
1.3 .П: коническая поверхность , ограниченная плоскостями z = 0 ; z = 1 ; f(x,y,z) = x2 +y2
1.4 .П:поверхность параболоида вращения , ограниченная плоскостями z = 0 ; z = 1 ; f(x,y,z) = .
1.5 П:часть поверхность конуса .
Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы второго рода :
2.1 по нижней стороне круга
2.2 по нижней стороне части конуса
2.3 по нижней стороне круга
2.4 по верхней стороне цилиндрической поверхности
2.5 по внешней стороне части поверхности , отсечённой плоскостями у = 0 , у = 1
2.6 по верхней стороне , отсечённой плоскостью z = 0
2.7. По внешней стороне отсечённой плоскостями z = 0 , z = 2
2.8. по внешней части параболоида x = a2 – y2 – z2 , отсечённой плоскостью УО.