Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ № 8

ТЕМА: Проективная геометрия. Вектор. Основные понятия. Действия с векторами.

План.

1. Основные понятие вектора.

2. Линейные операции с векторами.

3. Условие коллинеарности векторов.

4. Скалярное произведение векторов.

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Это площадь, длина, объем, температура, работа, масса и т. д.

Другие величины – сила, скорость, ускорение определяются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными. Их изображают в виде геометрических объектов – векторов.

Вектор – направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий длину и определенное направление. Если – начало вектора, – его конец, то такой вектор обозначается как , или . Вектор с началом в точке и концом в точке называется противоположным вектору и обозначается как , или .

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается .

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается как . Считается, что он не имеет направления.

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором и обозначается как .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это обозначается как . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора считаются равными , если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что векторы можно переносить параллельно своему направлению. Поэтому в дальнейшем будем считать, что все векторы имеют начало в точке начала координат. Тогда для обозначения вектора достаточно указать координаты его конца – точки . На рис.32 изображен вектор , на рис. 33 вектор .

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами.

Сложение векторов.

Пусть и два произвольных вектора. Переместим вектор таким образом, что бы его начало совпало с концом вектора , тогда вектор, начало которого совпадает с началом , конец – с концом вектора , называется суммой векторов и и обозначается как (рис. 34).Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Если у векторов и совместить начала и построить на их основе параллелограмм, то его диагональ, проходящая через это начало будет равна так же вектору (рис. 35). Это правило называется правилом параллелограмма. Разностью векторов и называется сумма векторов и (рис. 36). Таким образом, в параллелограмме, построенном на векторах и , одна диагональ будет равна сумме этих векторов, другая – их разностью (рис. 37). По свойству сторон и диагоналей параллелограмма справедлива формула

.

Произведением вектора на число называется вектор (или ), который имеет длину , коллинеарен вектору и имеет то же направление, если и противоположное вектору , если . Таким образом, векторы и всегда коллинеарны.

Свойства линейных операций над векторами.

Для любых векторов и , чисел и справедливы следующие соотношения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Обозначим единичные векторы, направленные вдоль осей и соответственно через и . Тогда вектор может быть представлен в виде суммы векторов (рис. 38). Соответственно в пространстве верно равенство

.

Векторы называются ортами.

Длина вектора.

Пусть вектор в трехмерном пространстве имеет координаты . Тогда его длина равна длине отрезка , где точки и имеют координаты соответственно и и может быть вычислена по формуле

На плоскости вектор имеет длину .

Условие коллинеарности двух векторов.

Пусть ненулевые векторы и коллинеарны. Тогда , следовательно, . Отсюда

т. е. координаты векторов пропорциональны. Это и есть условие коллинеарности векторов и .