Распределение случайных величин

В теории вероятностей под распределением случайной величины понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями или, в статистике, между наблюдаемыми величинами и их частотами.

Распределение, когда на центральную часть значений приходятся наибольшие частоты, а на крайние значение – меньшие частоты принято называть нормальным. график такой случайной величины выглядит следующим образом:

Надо знать, что кроме нормального распределения случайных величин есть также другие виды, подробнее о них можно узнать в литературе по математической статистике: биномиальное, пуассоновское, показательное, равномерное и др.

Пример 1. Дана таблица распределения веса почтовых отправлений за текущий месяц.

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, моду и медиану данной случайной величины:

Интервалы ∆i (6; 10) (10; 14) (14; 18) (18; 22) (22; 26) (26; 30) (30; 34) (34; 38)
Частоты ni

Объем выборки, по которой построен статистический ряд, равен n = 4+15+38+58+50+26+8+1= 200 - получают суммированием частот из второй строки таблицы. Относительные частоты вычисляем по формуле

Распределение случайных величин - student2.ru

Интервалы ∆i (6; 10) (10; 14) (14; 18) (18; 22) (22; 26) (26; 30) (30; 34) (34; 38)
Частоты ni
Относ.част. ωi 0,02 0,075 0,19 0,29 0,25 0,13 0,04 0,005
Середины xi*

Сумма относительных частот должна равняться единице. Для построения гистограммы надо над каждым интервалом статистического ряда построить прямоугольник, площадь которого равна соответствующей относительной частоте. Высоты этих прямоугольников определяем по формуле Распределение случайных величин - student2.ru , где ∆=4 длина интервала в статистической таблице. С точностью до третьего знака после запятой получаем: h1=0,005, h2=0,019, h3=0,048, h4=0,068, h5=0,073, h6=0,032, h7=0,01, h8=0,001. .

Распределение случайных величин - student2.ru

Для построения полигона частот найдем середины каждого из интервалов и отметим частоту для каждого из значений. Соединим их ломаной линией.

Модой данной величины будет интервал 18 – 22 (т.к. таких посылок было отправлено больше всего).

Медиана – лежит также в интервале 18-22 (т.к. это находится посередине выборки. И если разделить все посылки (200 шт.) пополам, граница между половинками будет именно в интервале 18-22

Для расчета математического ожидания, найдем вероятности появления почтовых отправлений (которые соответствуют относительным частотам). Всего было отправлено, значит:

Относ.част. ωi 0,02 0,075 0,19 0,29 0,25 0,13 0,04 0,005
Середины xi*

Распределение случайных величин - student2.ru Распределение случайных величин - student2.ru Распределение случайных величин - student2.ru Распределение случайных величин - student2.ru

Основные численные методы

Для некоторых подынтегральных функций Распределение случайных величин - student2.ru интеграл можно вычислить аналитически, найти в справочниках или оценить с помощью асимптотических рядов. Однако в общем случае Распределение случайных величин - student2.ru может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.

Наши рекомендации