В случае резонанса напряжений
,
поэтому, подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на L и С, получим
где - добротность колебательного контура.
Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включенные конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью L (рис. 24.7), R = 0.
Если приложенное напряжение изменяется по закону то согласно формуле в ветви 1с2 течет ток
амплитуда которого
Начальная фаза этого тока определяется равенством
,
откуда
(24.20)
где т = 1, 2, 3, . . .
Аналогично ток в ветви 1L2
,
амплитуда которого
.
Начальная фаза этого тока
,
откуда
(24.21)
где т = 1, 2, 3, . . .
Из сравнения выражений (24.20) и (24.21) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1С2 и 1L2 равна , т.е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда тока в неразветвленной (внешней) цепи
.
Если то и . Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности при приближении частоты w к резонансной частоте называется резонансом токов.
Уравнение плоской волны
,
где x - смещение колеблющейся точки; х - расстояние точки от источника волн; V - фазовая скорость распространения волны; w - циклическая частота.
Волновое число
,
где l - длина волны, .
Уравнение волны
.
Связь между разностью фаз и смещением
.
Примеры решения задач
Задача 1.Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 5 мкф и катушки с индуктивностью 0,2 Гн. Омическим сопротивлением цепи пренебрегаем. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора 90 В. Записать законы изменения заряда, напряжения и тока со временем. Найти максимальные значения заряда, тока и энергии в колебательном контуре.
Дано: Решение
С = 5 мкф = 5 . ф
L = 0,2 Гн
В
R = 0
q(t) - ? I - ? U - ?
Решением этого уравнения является уравнение гармонического колебания
Собственная частота
;
с-1;
Кл.
Уравнение будет иметь вид
Кл.
Зная закон изменения заряда со временем, можно найти любую физическую величину, совершающую колебательное движение.
;
;
В.
Сила тока в контуре
;
А;
А.
Полная энергия электромагнитных колебаний контура складывается из энергии электрического и магнитного полей
Дж.
Максимальную силу тока и полную энергию колебаний можно найти по закону сохранения энергии.
Полная энергия колебательного контура – величина постоянная. Когда конденсатор имеет максимальный заряд , напряжение на обкладках конденсатора , ток в контуре равен нулю, и полная энергия равна энергии электрического поля .
Когда конденсатор разряжен, напряжение на обкладках равно нулю, сила тока достигает максимального значения I0.
Полная энергия равна энергии магнитного поля .
Следовательно,
,
откуда находим
; А.
Полная энергия
Дж.
Ответ: Кл; А; Дж.
Задача 2. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 7 мкф, катушки индуктивностью 0,23 Гн и активным сопротивлением 40 Ом. Максимальный заряд на конденсаторе Кл. Написать закон изменения заряда, напряжения и силы тока от времени. Найти период колебаний и логарифмический декремент затухания.
Дано: Решение
Ф
Гн
Ом
Кл
q(t) - ? I(t) - ?
U(t) - ? T - ? l - ?
;
с .
Период колебаний
с.
откуда
.
Закон изменения заряда со временем
Кл,
тогда
В.
Закон изменения силы тока
;
А.
Логарифмический декремент затухания
.
Ответ: с; .
Задача 3. В цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора сопротивлением 20 Ом, катушки индуктивностью 1 мГн и конденсатора емкостью 0,1 мкф действует синусоидальная ЭДС, амплитудное значение которой 30 В. Определить частоту ЭДС, при которой в цепи наступит резонанс, и напряжения на всех элементах цепи при резонансе.
Дано: Решение
R = 20 Ом
L = Гн
Ф
В
Амплитуда тока достигает максимального значения (явление резонанса), если емкостное и индуктивное сопротивления равны, т.е.
или ,
откуда
с ;
А.
Напряжение на резисторе
В.
Напряжение на катушке
В.
Напряжение на конденсаторе
В.
будут во столько раз больше приложенного напряжения, во сколько раз их сопротивления больше активного сопротивления.
Векторная диаграмма показана на рис. 24.8.
В за счет обмена энергией между катушкой и конденсатором, В идет на покрытие потерь на активном сопротивлении.
Ответ: В; В.
Задача 4. Плоская продольная упругая волна, распространяющаяся вдоль оси х, представлена уравнением м. Определить частоту колебаний, скорость распространения волны, длину волны, амплитуду скорости колебаний каждой частицы среды.
Дано: Решение
м
Из сравнения видно, что циклическая частота ,
откуда
;
Гц.
Волновое число откуда . Из данного уравнения .
Тогда
м.
Для нахождения скорости колебаний частиц найдем производную по времени от смещения:
;
.
Для нахождения скорости распространения волны используем формулу
,
откуда
;
.
Ответ: Гц; ; м; .
Задача 5. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 . Период колебаний 1,2 с, амплитуда 2 м. Определить 1) длину волны; 2) Фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, отстоящей на 45 м от источника, в момент времени t = 4 c; 3) Разность фаз двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстоянии м и м.
Дано: Решение
V = 15
с
м
м
с
м
м
2. Фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки можно найти с помощью уравнения волны:
(1)
где y - смещение колеблющейся точки; х - расстояние точки от источника волн; V- скорость распространения волн; - циклическая частота.
Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t равна
так как
то можно записать
;
рад.
Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) числовые значения амплитуды и фазы:
м.
Скорость колеблющейся точки
.
Ускорение точки
3. Разность фаз колебаний
.
Ответ: м; ; м; ; ; .
Задача 6. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами по 100 см2 каждая и катушки индуктивностью 10-6 Гн, резонирует на волну длиной 10 м. Определить расстояние между пластинами конденсатора.
Дано: Решение
см2 = 10-2 м2
Гн
м
откуда
. (1)
Емкость С найдем из формулы Томсона, определяющей период колебаний в контуре:
откуда
. (2)
Период колебаний Т находим из формулы, связывающей длину волны и скорость распространения колебаний. Для электромагнитных колебаний скорость равна скорости света, тогда
(3)
где .
Подставив выражение (3) в (2), а затем в (1), получим
и
м.
Ответ: м.