Условием возникновения резонанса напряжений является равенство нулю реактивной части входного комплексного сопротивления последовательного колебательного контура.

Следовательно, полное комплексное сопротивление равно резистивному сопротивлению: . Ток при резонансе – максимален.

Условие возникновения резонанса напряжений в контуре (рис. 7.1):

.

Резонансная частота или .

Из векторной диаграммы контура в режиме резонанса (рис. 7.2) следует, что входное напряжение равно напряжению на активном сопротивлении.

Рис. 7.2

Характеристическое сопротивление, добротность, затухание контура

Резонансная частота ( ); характеристическое сопротивление ( ) и добротность ( ) являются вторичными параметрами контура.

а) Характеристическое сопротивление – это сопротивление индуктивности и ёмкости при резонансе:

.

б) Добротность – это отношение максимальной энергии электрического и магнитного полей ( ) к потерям в контуре ( )или отношение действующих значений напряжений на реактивных элементах к приложенному напряжению в режиме резонанса:

.

Добротность характеризует качество контура и определяет его резонансные свойства. В реальных устройствах к сопротивлению надо прибавить источника, что снижает результирующую добротность.

в) Затухание – величина, обратная добротности:

.

г) Полоса частот вблизи резонанса, на границах которой ток снижается до от максимального значения тока при резонансе, определяет абсолютную полосу пропускания контура (рис. 7.3):

,

где и граничные частоты полосы пропускания.

Зная ширину полосы пропускания, можно определить добротность контура:

.

Рис. 7.3

Рассмотрим, как определить резонансную частоту колебательного контура рис. 7.4

Рис. 7.4

Особенностью цепи является наличие шунта , подключенного параллельно к емкости, который изменяет сопротивление цепи.

Резонансную частоту определим из условия равенства нулю эквивалентного реактивного сопротивления контура. Запишем полное комплексное сопротивление цепи, выделим действительную и мнимую части:

.

В режиме резонанса (полное сопротивление носит активный характер), следовательно:

или ,

откуда .

Векторная диаграмма колебательного контура (рис. 7.4) в режиме резонанса представлена на рис. 7.5.

Рис. 7.5

Напряжение на входе .

На диаграмме видно, что входное напряжение совпадает по фазе с током , что соответствует условию режима резонанса.

Параллельный колебательный контур. Резонанс токов

Эквивалентные схемы параллельных колебательных контуров представлены на рис. 7.6 а – в.

Рис. 7.6. а	Рис. 7.6. б	Рис. 7.6. в

Явление резонанса в схеме образованной двумя параллельными ветвями с разнохарактерными сопротивлениями, называется резонансом токов. Условием резонанса токов является равенство нулю реактивной части полной комплексной проводимости параллельного колебательного контура.

Проводимости ветвей схемы рис. 7.6. в) равны:

;

,

где , .

.

Т.к. при резонансе , то полная проводимость должна носить активный характер, что возможно при , т.е.

.

Решив это равенство относительно резонансной частоты , получим:

.

В частном случае идеального контура (рис. 7.6. а) .

Полная проводимость идеального контура , следовательно . Таким образом, идеальный контур при резонансе токов эквивалентен разрыву цепи.

Примеры расчета электрических цепей в режиме резонанса

Пример 7.1

Рассчитать параметры , последовательного колебательного контура по заданной резонансной частоте , полосе пропускания и сопротивлению контура . Определить напряжение на входе и напряжение на всех элементах контура, если известны: ток в контуре , частота , ширина полосы пропускания , активное сопротивление .

Решение

Добротность контура связана с абсолютным значением полосы пропускания по формуле:

.

Характеристическое сопротивление контура:

,

откуда

;

.

Напряжение на входе контура:

.

Напряжение на активном сопротивлении, индуктивности и ёмкости соответственно равны:

;

; .

Ответ: ; ; ; ; ; .

Пример 7.2

Последовательный контур настроен в резонанс. Сопротивление конденсатора . Добротность катушки . Определить напряжение на конденсаторе, если напряжение приложенное к контуру, . Определить показание вольтметра с сопротивлением в схеме рис.7.7.

Рис. 7.7

Решение

При резонансе добротность катушки будет равна добротности контура:

, ,

отсюда

.

Напряжение на конденсаторе:

.

При подключении вольтметра параллельно к емкости в контур внесутся дополнительные потери. На рис. 7.8 показана схема замещения, на которой параллельный участок, «конденсатор–вольтметр» заменен эквивалентным последовательным соединением , где

;

.

Рис. 7.8

Так как емкостное сопротивление контура практически не изменилось , то не изменится и резонансная частота контура.

Определим ток в контуре:

.

Показания вольтметра определим по следующей формуле:

.

Ответ: .

Пример 7.3

	Цепь рис. 7.9 находится в режиме резонанса. Мощность, потребляемая цепью , напряжения , , . Определить: , , .
Рис. 7.9

Решение

Построим векторную диаграмму напряжений, совмещённую с векторной диаграммой токов. При построении следует учитывать существующий в цепи режим резонанса напряжений, то есть вектор входного тока должен совпадать по фазе с вектором входного напряжения . Треугольники токов и напряжений подобны. Одинаковые углы показаны на диаграмме (рис. 7.10). Этот факт используется при решении задачи.

Рис. 7.10

Зная значение активной мощности, определяем значение сопротивления :

, откуда .

По закону Ома определяем ток . Из треугольника напряжений определяем угол .

Из треугольника токов определяем .

Сопротивление ёмкости определяем по закону Ома:

.

Ток определим как геометрическую сумму и :

.

.

Ответ: ; ; .

Пример 7.4

	Определить токи в ветвях и в неразветвленной части схемы (рис. 7.11), а также добротность контура, если ; ; .
Рис. 7.11

Решение

Волновое сопротивление контура:

.

Сопротивление ветвей параллельного контура:

;

.

Определим максимальные значения токов в ветвях по закону Ома:

;

.

Полное сопротивление контура является резистивным и равно:

.

Ток в неразветвлённой части цепи равен:

.

Добротность контура:

.

Ответ: ; ; ; .

Пример 7.5

	В цепи, изображённой на рис. 7.12, имеет место резонанс токов. Мощность, потребляемая цепью, . Показания амперметров соответственно равны: , . Определить: параметры контура , и .
Рис. 7.12

Решение

В параллельном колебательном контуре в режиме резонанса токов равны реактивные составляющие токов параллельных ветвей в силу равенства реактивных проводимостей этих ветвей ( ). Следовательно, для данной цепи справедливо соотношение:

.

Реактивные токи замыкаются в параллельном контуре, и во входной цепи протекает только активный ток:

.

На векторной диаграмме (рис. 7.13) ток представлен геометрической суммой активной и реактивной составляющих. Из диаграммы следует:

.

Рис. 7.13

Мощность, потребляемая цепью, выделяется на сопротивлении , т.е.:

.

Тогда:

.

Так как то:

.

Напряжение на параллельном колебательном контуре:

.

Сопротивление конденсатора:

.

Из условия резонанса для параллельного контура имеем:

.

Откуда:

.

Подставляем в последнее выражение численные значения и определяем величину модулей реактивного сопротивления катушки:

;

;

.

Из решения следует, что резонанс токов может наступить при двух значениях индуктивного сопротивления.

Ответ: ; , , .

Пример 7.6

	Контур с , питается генератором, амплитуда Э.Д.С. которого и внутреннее сопротивление (рис. 7.14). При резонансе амплитуда напряжения на контуре равна . Определить индуктивность и добротность контура, токи генератора и контура.
Рис. 7.14

Решение

Определим амплитуду напряжения генератора:

.

Выражаем и рассчитываем значение тока в ветви с генератором напряжения:

.

Определим входное сопротивление параллельного контура:

.

Для контура с малыми потерями:

,

Откуда:

.

Определим характеристическое сопротивление контура:

.

Определяем добротность контура:

.

Амплитуду тока в контуре определяем исходя из следующих соотношений:

.

Ответ: ; ; ; .