Уравнения, неразрешенные относительно производной

Формально, в этот класс можно отнести все уравнения первого порядка, если перенести все слагаемые из левой (правой) части в правую (левую) и получить уравнение вида F(x,y,y')=0. Но в этот класс я буду относить только уравнения, в которых нельзя производную выделить алгебраически, т.е. записать y'=f(x,y). Например: y=x*cos(y')+y'.

Для решения уравнений этого класса часто используется следующий метод:

Делаем замену y'=p и дифференцируем уравнение по х. Во многих случаях (хотя и далеко не всех)

эти действия позволяют свести решение нашего уравнения к уравнениям вышеописанных классов.

Так, например, можно решить уравнение, которое я дал в качестве примера выше:

p=cos(p)-xp'sin(p)+p', которое является линейным относительно x(p): x'(p-cos(p))=1-x*sin(p).

Естественно, данная замена (y'=p) не единственная. Можно применить и такую: cos(y')=p, но решать получающееся в этом случае уравнение сложнее (но в каком-нибудь другом уравнении именно эта замена может быть лучше).

***

Пример:

Рассмотрим уравнение вида y=x*f(y')+g(y'), которое называется уравнением Лагранжа. Его можно решить методом, который я кратко изложил в I.7). Сделаем замену y'=p и продифференцируем по х:

y'=f(p)+x*p'f'(p)+p'g'(p) <=> p=f(p)+x*p'f'(p)+p'g'(p) <=> p-f(p)=p'(xf'(p)+g'(p))

Последнее является линейным относительно x(p).

II. Задача Коши для уравнения первого порядка.

Задача Коши - это задача на нахождение какого-то определенного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию, называемомуначальным. Геометрически - нахождения некоторой кривой, проходящей через определенную точку.

Положим, в некоторой точке x₀ y, удовлетворяющее уравнению F(x,y,y')=0 равно y₀. Тогда решение задачи Коши - это решение относительно C алгебраического уравнения y₀=y(x₀, C), где y(x,C) - общее решение уравнения.

III. Уравнения, допускающие понижение порядка (сводящиеся к уравнениям первого порядка).

1. Уравнения вида F(x, y', y'')=0.

Уравнение сводится к уравнению первого порядка заменой u=y'. Получим в результате уравнение вида F(x,u,u')=0.

После, получив решение u=u(x), интегрируем его по х.

2. Уравнения вида F(y, y', y'')=0

Понижение порядка получим следующим образом:

Пусть y'=p(y), тогда (производная сложной функции).

Получили уравнение вида F(y, p, pp')=0. Теперь будем искать решение уравнения как p(y) (или же y(p), как получится).

Положим, что удалось отыскать решение p(y). Решение y(x) (или х(у)) получим, проинтегрировав уравнение .

Если же получили y(p):

В этом случае интегрируем уравнение вида . После интегрирования получим или y(x) (как y(p(x))), или же параметрическое решение y(p)&x(p).