Кризис в основаниях математики в XIX веке

Противоречивость понятия числа

процедура соизмери­мости или исчерпания, где два отрезка разной длины сопоставлялись с помощью следующей процедуры:

сначала целое число экземпляров отрезка 1 укладывалось в отрезок 2, пока это возможно;

затем отрезок 1 делился на целое число равных частей, и уже и здесь все в порядке, если на некотором этапе удается получить нулевой остаток. Однако если данный процесс оказывается бесконеч­ным, то завершить процесс соизмерения оказывается невозможным, по крайней мере за конечное время

- проблему длины диаго­нали единичного квадрата √2. Очевидно, что подобный отрезок име­ет право на существование (его легко построить), но говорить о его длине приходится весьма осторожно, т. к. процедура соизмеримости его с единичным отрезком не может быть окончена - она бесконечна.

- Доказательство несоизмеримости √2 с единичным отрезком бы­ло известно грекам. Предположим, что √2 = m/n , где – m/n несократи­мая дробь. Тогда, возводя это равенство в квадрат, получим m² = 2n² - значит, т = 2к - четное и делится на два, тогда 4k² = 2n² и, значит, п - четное. Тогда дробь m/n - сократимая.

-

Парадоксы связанные с потенциальной и актуальной бесконечностью

Парадокс Ахиллес и черепаха. Представим себе Ахиллеса, дого­няющего черепаху. Разобьем этот процесс на следующие шаги: пока Ахиллес пройдет половину пути, отделяющего его от черепахи, чере­паха проползет некоторое, пусть в сто раз меньшее, расстояние; на втором шаге Ахиллесу приходится преодолевать половину этой сотой части, да еще половину половины оставшейся после первого шага, и т. д. Этот процесс половинного деления никак не кончается, что не поз­воляет Ахиллесу догнать черепаху. Суть этого парадокса состоит в том, что в любом отрезке на­ходится две бесконечности: первая - потенциальная - деление на все меньшие половинные части; вторая - актуальная - сумма всех этих половинок. Парадокс полета стрелы, или парадокс мгновенной скорости: полет стрелы может быть представлен как про­цесс последовательного прохождения в пространстве различных по­ложений - значит, чтобы описать мгновенное движение или опре­делить мгновенную скорость, мы должны представить себе процесс бесконечного деления на все более мелкие части пространства (про­межутков) между последовательными положениями стрелы. Такой процесс не может завершиться, однако мгновенная скорость стрелы есть результат завершенного такого процесса. Понятно, что здесь то же самое противоречие между двумя бесконечностями - потенциаль­ной и актуальной.

Понятие актуальной и потенциальной бесконечности, примеры

Потенциальной бесконечностью, или бесконечностью становящей­ся, будем называть последовательный процесс, в котором каждый следующий шаг возможен и осуществляется после предыдущего, без конца. Подобно тому как понимали бесконечность Вселенной греки, Ахиллес всегда имеет возможность бросить копье дальше с того мес­та, где оно приземлилось в предыдущий раз.

Актуальной бесконечностью, или бесконечностью ставшей, будем называть результат бесконечного процесса или некоторую совокуп­ность, состоящую из бесконечного множества частей. Для нашего

Ахиллеса этот объект - Вселенная, которая уже содержит в себе все возможные броски копья Ахиллеса.

«прямую можно непрерывно продолжать». Это потенциальная бесконечность. Если же рассмотреть всю бесконечную прямую, то она даёт пример актуальной бесконечности. Окружность при R-> бесконечности. Если рассмотреть участок то получится прямая – актуальная бесконечность

Представление о бесконеном у Ньютона и Лейбница

Ньютон - Движение, кото­рое осуществляется в бесконечном Пространстве и таком же Времени (заметим, в актуально бесконечном). понятие мгно­венной скорости, которая определяется Ньютоном как «последнее отношение» - предел в нашей современной терминологии. неявно при определении движения приходилось использовать движе­ние, а именно, стремление отрезка времени к нулю или понятие бес­конечно малого отрезка времени. Ньютон ввел понятие актуальной бесконечности в науку.

в математичес­ком анализе победила точка зрения Лейбница. понятие у Лейбница бесконечно малой величины как вещи в себе - монады, в которой возможно заключена первичная неделимая частица вещей. Лейбниц, возможно, хотел выде­лить фундаментальность этого понятия как идеи, на которой можно построить здание математического анализа.

кризис в основаниях математики в XIX веке

На рубеже XIX—XX веков были открыты так называемые парадоксы теории множеств. Сущность парадокса заключается в том, что с помощью логически правильных рассуждений удаётся обосновать (доказать средствами данной теории) одновременно некоторое утверждение и его отрицание, то есть противоречие. Это означает противоречивость данной теории. По законам логики в противоречивой теории доказуемо «всё что угодно», то есть любое утверждение. Параллельно с открытием парадоксов (и независимо от этого) был подвергнут критике целый ряд теоретико-множественных и логических принципов.
Эта критика прежде всего была направлена на абстракцию актуальной бесконечности