Последовательности. Нахождение пределов

Числовая последовательность – функция, определенная на множестве натуральных чисел . Если множество значений ограничено – последовательность ограниченная. Такая последовательность может иметь предел. Пределом называют число , если существует точное (номер члена последовательности) начиная с которого восполняется неравенство , где - сколько угодно малое положительное число. Обозначение:

Пример 1.5. Вычислить предел последовательности

Решение задач упрощается, если школьный курс усвоен и есть навык алгебраических преобразований. Легко видеть, что в числителе дроби – арифметическая прогрессия ; . Сумма членов , подставив в исходное выражение получим (поскольку предел суммы равен сумме пределов)= =

(первые два слагаемых компенсируют друг друга, а предел постоянной равен самой постоянной)

1.3 Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины (функции). Замечательные пределы.

Говорят, что предел функции при (стремящемся к ) равен , если для любого найдется такое, что если . . Предел может существовать и при , что записывают так: . Если при функция неограниченно возрастает пишут и функцию называют бесконечно большой при . Если функцию называют бесконечно малой при .

Из теорем о пределах напомним следующие:

1. , где .

2. .

3. .

4. .

функции, имеющие предел.

Пример 1.6. а) найти предел

Непосредственная подстановка приводит к неопределенности вида (этот символ означает, что при неограниченно возрастают и числитель и знаменатель). Разделим почленно на числитель и знаменатель дроби и найдем предел:

Здесь и во всех других случаях пределы дробей с постоянным (или ограниченным числителем) и бесконечно возрастающим знаменателем равны нулю:

Если показатель старшей степени многочлена в числителе выше, чем в знаменателе, то тот же прием приводит в пределе к выражению вида , где постоянная.

б) Найти предел .

Решение. Разделив почленно на , получим .

Если показатель старшей степени многочлена в числителе ниже, чем в знаменателе, то такой прием приводит в пределе к выражению вида .

в) Найти предел

Решение. Разделив почденно числитель и знаменатель на , получим:

.

Пусть требуется найти предел функции при , где числитель и знаменатель – многочлены, которые при оба равны нулю. Приходим к неопределенности , которую можно раскрыть, воспользовавшись теоремой Безу: если многочлен при обращается в нуль, он делится на двучлен . Следовательно, числитель и знаменатель дроби можно разложить на множители:

После сокращения дроби на придем к пределу .

Если при и этот предел приведет к неопределенности , разложение на множители повторяют. В итоге неопределенность раскрывается.

Пример 1.7. а) Найти предел .

Решение. Так как при числитель и знаменатель , то оба эти квадратные трехчлена можно разложить на множители, один из которых будет . Разложение можно выполнить путем деления многочленов на двучлен :

б) Найти предел .

Решение. Подставляя , придем к неопределенности вида . Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму с таким расчетом , чтобы избавиться от иррациональности в числителе и устранить неопределенность. Поскольку

, то

.

Существенно упрощает решение задач использование двух важных соотношений теории пределов, называемых первым и вторым замечательными пределами и следствий из них, аналитически записанных так: (1.1); (1.2); (1.3); (1.4).

Отметим, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида (основание степени , а показатель ) и равен числу е, основанию натурального логарифма . Помимо перечисленных, встречаются неопределённости вида:

Задача состоит в раскрытии неопределённостей при помощи тождественных преобразовании функции или подстановок.

Пример 1.8. а)

Здесь тоже получаем неопределённость . Выполним тригонометрические преобразования, которые позволят воспользоваться первым замечательным пределом.

Получим: .

б)

Решение. Подстановка х=0 приводит к неопределённости вида . Положим , тогда 5x=siny, Ясно, что при будет .

Придём к пределу: .

Если функция есть дробь, содержащая иррациональные выражения, то есть радикалы, и непосредственная подстановка при переходе к пределу при х=а приводит к неопределённости вида , раскрыть неопределённость часто оказывается возможным, если избавиться от иррациональности в числителе или знаменателе дроби или там и там одновременно.

в) Найти предел . Чтобы получить в скобках выражение вида , прибавим и вычтем единицу в числителе дроби:

, обозначим 2х-1=у, откуда если , то . Тогда:

В решении задачи можно было сделать и такую замену:

, откуда Если , то . Получим:

г) Найти .

Решение. Пусть -4х=у, тогда При будет . Тогда

, следует заметить, что неопределённости вида сводятся различными приёмами к неопределённости вида или , раскрытие которых мы уже рассматривали в ряде простых случаев.

Пример 1.9. а) Вычислить , при подстановке х=2, получаем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение:

= .

б) Найти , при , , и мы имеем дело с неопределённостью вида .

Преобразуем: = =(напомним, что , если (и ) непрерывны в окрестности точки а) = .