Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Числовыми характеристиками сл.в. являются математическое ожидание M(X), дисперсия D(X), среднее квадратичное отклонение .

Опр. Математическим ожиданием дискретной сл.в. Х с законом распределения называется число

Х	х1	х2	х3	…	хn
Р	р1	р2	р3	…	рn

M(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn

Пример. Найти М(Х) числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение. Закон распределения имеет вид

Х
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Тогда М(Х)= 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3,5

Свойства М(Х):

1. М(СХ)=С*М(Х).

2. М(Х+У)=М(Х)+М(У)

3. М(Х*У)=М(Х)*М(У)

Опр. Пусть Х – дискретная сл.в., возможные значения которой х1,х2,…,хn,

М(Х) – математическое ожидание, тогда сл.в. Х-М(Х) называется отклонением величины Х от ее математического ожидания, т.е. отклонение это сл.в., которая принимает значения: х1-М(Х), х2-М(Х),…, хn-М(Х).

Опр. Дисперсией сл.в. называется математическое ожидание квадрата

отклонения сл.в. от ее математического ожидания.

Дисперсия обозначается

Опр.. Средним квадратичным отклонением сл.в. Х называется корень

квадратный из дисперсии. .

На практике часто используют формулу .

Пример. Дискретная сл.в. имеет закон распределения

Х
Р	0,3	0,5	0,2

Найти D(X)? ?

Решение: М(Х)= 0*0,3+1*0,5+2*0,2=0,9

Запишем закон распределения отклонения этой величины, т.е. величины

	(0-0,9)	(1-0,9)	(2-0,9)
Р	0,3	0,5	0,2

D(X)=(0-0,9) *0,3+(1-0,9) *0,5+(2-0,9) *0,2=0,81*0,3+0,01*0,5+1,21*0,2=0,49.

Контрольная работа по «Математике»

ВАРИАНТ 1

1. Упростить алгебраическое выражение

1. Вычислить предел последовательности

1. Вычислить предел последовательности

1. Вычислить предел функции

1. Найти производную функции

1. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции

f(х)= х - 7.5 х +18х

Найти неопределенный интеграл

dx

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у= х +х и у=х+1

Найти частное решение дифференциального уравнения

(х+1) dу + (y-2) dx=0 при х =1; y =4

Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов

Геометрической прогрессии

1+q+q +…+ q +… , <1

ВАРИАНТ 2

Упростить алгебраическое выражение

а *

Вычислить предел последовательности

Вычислить предел последовательности

Вычислить предел функции

1. Найти производную функции

у = 4е

1. Найти экстремумы функции

f(х)= (х – 2)

1. Найти неопределенный интеграл

dx

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у= -2х +3х+6 и у=х+2

Найти частное решение дифференциального уравнения

dx при х =2; y =5

Исследовать на сходимость ряд

1+1+1+…+ 1+…

ВАРИАНТ 3

Упростить алгебраическое выражение

Вычислить предел последовательности

Вычислить предел последовательности

Вычислить предел функции

Найти производную функции

у = х *sin х+

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

f(х)= х - 2х +х-2 на отрезке [0,5; 2]

Найти неопределенный интеграл

sin х dx

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = х ; у = ; у = 0 ; х = 2

Найти частное решение дифференциального уравнения

ху -у=0 при х = -4; y = 2

10. Исследовать ряд на сходимость

ВАРИАНТ 4