Связь непрерывности и дифференцируемости

Мы познакомились с двумя свойствами функции в точке – непрерывность и дифференцируемость. Какое свойство сильнее?

Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она в ней и непрерывна.

Доказательство. Пусть функция Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru в точке Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru дифференцируема, т.е. существует конечное число Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru :

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru - б.м. при Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru , Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Если Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru , то Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru , тогда Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru также стремится к нулю, причём

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

В таком случае говорят, что Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru является бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru и этот факт обозначается так: Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru читается: Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru . Итак

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru (1)

Эта формула показывает структуру приращения функции.Отсюда следует, что если Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru , то Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru - бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, а это есть третья формулировка определения непрерывности функции в точке (см. п.8,3,формула (4)). Итак, свойство дифференцируемости сильнее – непрерывность из него следует автоматически (по теореме). А наоборот? Оказывается, что если функция непрерывна в точке, то она не обязательно дифференцируема.

Пример 6. Рассмотрим функцию Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Производная этой функции Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru . Она равна Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru =0, т.к. tg Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru = Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru , то касательная вэтой точке перпендикулярна оси ох. Для функции у= Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru в начале координат касательной является ось oу (см.рис.3). Производная в начале координат не существует -функция не дифференцируемая в этой точке, но непрерывна.

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru 1

 
  Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

-1 1

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru -1

Рис. 3

Дифференциал функции.

Вернёмся к рассуждениям, приводимых при определении производной. Пусть имеется функция Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru . Воспользуемся формулой (1), показывающей структуру приращения функции: Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Эта формула показывает, что приращение функции состоит из двух частей. Первая часть, Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru , линейна относительно приращения аргумента Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru . Вторая часть, Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru – о – малое от Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru , является бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru . Отсюда следует, что основной «вес» приращения функции приходится на первое слагаемое. По этой причине оно называется главной частью приращения функции.

Определение. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru , называется дифференциалом функции и обозначается Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Итак, по определению

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru (2)

Пример 7. Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Тогда Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Пример 8. Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru .

Пример 9. Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Таким образом, дифференциал независимого аргумента равен его приращению. С учётом этого равенства формула для дифференциала функции принимает «симметричный» вид: Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru или

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Отсюда, в частности, следует, что Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Таким образом, становится понятным введённое ранее для Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru обозначение Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Также ясно, что нахождение дифференциала функции сводится к нахождению её производной, которую надо формально умножить на Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru .

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Обратимся теперь к геометрическому смыслу дифференциала функции в точке

.

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru
Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru A Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru
Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru 0 Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Рис. 4

Возьмём произвольную точку Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Дадим приращение Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru , получим новую точку Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru и приращение функции

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru (рис. 4). По определению Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru или

Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru . Исходя из геометрического смысла производной она равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в точке Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru т.е. Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru Тогда из Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru следует, что Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru

Из рис. 4 видно, что если, получив приращение Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru , двигаться по кривой, то придём в точку Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru и получим приращение Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru . Если же, получив приращение Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru , двигаться по касательной к кривой в точке Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru , то придём в точку Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru и получим приращение Связь непрерывности и дифференцируемости - student2.ru В этом и состоит геометрический смысл: дифференциал функции в точке представляет собой приращение ординаты касательной к кривой в этой точке.

Наши рекомендации