Чего проще – ответ в одну строчку

Рассмотрим примеры решения задач кинематики, обращая внимание на реализацию общего плана и на алгоритм применения главных кинематических уравнений.

Задача 5. 1 Шарику, находящемуся на наклонной плоскости, сообщили скорость 0,20 м/c, после чего он покатился вверх с постоянным ускорением 0,0981 м/c². Определить: время движения шарика до остановки; путь, который он пройдет до этого момента; через какое время шарик вернется в начальное положение и с какой скоростью; на каком расстоянии от начала движения скорость шарика была равна 0,10 м/с.

Действуем в соответствии с описанным выше планом УРАУРА.

Вчитываемся в Условие задачи, вводим необходимые обозначения и кратко записываем условие.

Некоторые предпочитают начинать краткую запись условия с искомых величин, а не с заданных. Можно поступать и так. Это дело вкуса. Слово «Шарик» в начале условия напоминает, о чем идет речь в задаче. Подобное напоминание полезно, если условие задачи не переписывается в тетрадь. А вот слова «Дано» и «Решение», которыми часто «украшают» записи, не несут никакой смысловой нагрузки, без них вполне можно обойтись.

Почему в условии написано, например, 0,20 м/с, а не 0,2 м/с? Физические величины, как правило, выражаются приближенными числами. Число 0,20 имеет две значащие цифры. Оно дает более точное значение, чем число 0,2, имеющее только одну значащую цифру. Соответственно, и ответ придется округлить до двух значащих цифр, поскольку остальные не могут повысить точность результата, они окажутся сомнительными.

Чтобы различить две заданные в задаче скорости, одна из них отмечена индексом 0. Время движения вверх обозначено t₁? А все время движения до возвращения в исходное положение – t₂. Соответствующая этому моменту времени скорость отмечена тем же индексом – (v₂). Путь (то есть длина участка траектории, по которому двигалась частица) за время t₁ обозначен l₁. Можно было бы написать и S₁, но буква S обычно используется для обозначения перемещения. В данном случае путь совпадает с модулем перемещения, но так бывает далеко не всегда. Искомое расстояние – S. Это модуль перемещения, в конце которого скорость была равна v.

Изобразим описываемую в задаче ситуацию на Рисунке (рис. 4)

Вблизи различных положений шарика в скобках указаны соответствующие моменты времени. Скорость может быть направлена или так, как показано пунктирной стрелкой, или – в противоположную сторону. Не следует упускать из виду обе эти возможности. На рисунке находит отражение и то обстоятельство, что скорость по модулю меньше, чем ₀. Уменьшение модуля скорости согласовано с направлением ускорения . О модулях перемещений и ₁, показанных на рисунке 4, идет речь в задаче. Показан на рисунке и путь l₁, который равен модулю перемещения ₁.

Из Анализа содержания задачи выясняется, что шарик можно считать частицей, так как его размер пренебрежимо мал. Ускорение постоянно. Поэтому можно применить законы (4.6) – (4.8) кинематики частицы, движущейся с постоянным ускорением.

Применяя эти законы, попытаемся записать Уравнения, связывающие искомые величины с заданными. Какую именно формулу нужно применить для нахождения t₁? Чем замечателен этот момент времени? В этот момент времени шарик останавливается, его скорость становится равной нулю. Начальная скорость известна. Так что разумно применить формулу для скорости (4.7).

Алгоритм применения каждой из формул (4.6) – (4.8) диктуется самой формулой. Достаточно выразить входящие в нее величины через те, которые заданы по условию задачи. В формулах фигурируют проекции векторов на произвольно выбранную ось x. Настало время сделать этот выбор. Поскольку проецируемые векторные величины направлены вдоль наклонной плоскости, в том же направлении целесообразно направить и ось x (рис. 4).

При указанном выборе направления оси применение формулы (4.7) дает

0 = v₀ – a t₁. (5.1)

Здесь учтено, что v_X = 0; v_0X = v₀; a_X = – a. Из решения уравнения (5.1) сразу получается первый ответ:

t₁ = v₀ / a . (5.2)

Какую формулу следует применить для нахождения l₁? Из рисунка ясно, что в уравнении должно фигурировать перемещение ₁. Имеется две формулы для перемещения: (4.6) и (4.8). В первую из них входит время, которое уже найдено – (5.2), а в формулу (4.8) время не входит вовсе. Именно последней и следует отдать предпочтение, чтобы избежать размножения ошибки, возникновение которой возможно при получении первого ответа. Применяем формулу (4.8):

S_1X = S₁ = l₁; v_X = 0; v_X0 = v₀; a_X = – a;

l₁ = = . (5.3)

И второй ответ получен в одну строчку благодаря разумному подбору применяемой формулы.

Как найти t₂? Можно вначале искать добавку к найденной величине t₁, равную времени возвращения шарика в начальное положение, но нельзя ли сразу найти все время движения t₂? Какую формулу следует для этого использовать? Формула для скорости (4.7) не годится, так как не известна скорость в момент t₂. Формула (4.8) вообще не содержит t₂. Остается формула (4.6) для перемещения. Но какого перемещения? Очевидно, за время t₂. Есть ли оно на рисунке? Не видно. А что такое перемещение за время t₂? Направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положения частицы. В данном случае эти положения совпадают. Значит перемещение за время t₂ равно нулю. Вот для этого то перемещения и применим формулу (4.6):

S_2X = 0; v_0X = v₀; a_X = – a. Þ

0 = v₀ t₂– a t₂² / 2. (5.4)

При Решении этого уравнения получается два корня. Один из них (t₂ = 0) не удовлетворяет условию задачи (искомое время движения отлично от нуля). Другой корень дает ответ

t₂ = 2 v₀ / a . (5.5)

Самостоятельно напишите уравнение для нахождения v₂ и решите его. Должно получиться: v₂ = v₀, то есть шарик возвратится с той же по модулю скоростью, с какой он начал движение.

Для нахождения последнего ответа следует применить формулу (4.8), поскольку скорость в указанном месте задана, а соответствующее время не известно:

S = = . (5.6)

Здесь S_X = S; v_0X = v₀; a_X = – a; кроме того, v_X = ±v, в зависимости от направления движения шарика в этот момент времени.

Как видно из рассматриваемого примера, Решение уравнений не обязательно должно быть выделено в отдельный блок, если каждое из уравнений можно решить независимо от других. Аналогичное утверждение относится и к другим этапам общего плана. В частности Анализ каждого из результатов можно также проводить по мере их получения.

Проводя Анализ результатов, прежде всего, следует убедиться в правильности наименований получаемых величин. К примеру, из ответа (5.3) находим

[l₁] = = м.

С «пристрастием» следует проанализировать ответы, содержащие знак «–», или величины, которые могут иметь отрицательные значения. С этой точки зрения следует обратить внимание на выражение (5.6). При v > v₀ величина S отрицательна, что противоречит ее смыслу (модуль перемещения). Однако в данном случае такой «неприятности» не возникает, поскольку из условия задачи видно, что v < v₀. Формула (5.6) в равной мере относится как к случаю v_X < 0 (пунктирная стрелка на рисунке 4), так и к случаю v_X > 0 (сплошная стрелка на рисунке 4). Это означает, что при скатывании шарик имеет в каждой точке скорость, совпадающую по модулю с той, которая у него была в этой точке при движении вверх. Найденный выше ответ для v₂ подтверждает сделанный общий вывод.

Сравнивая ответы (5.2) и (5.5), приходим к еще одному интересному заключению: время движения шарика вверх равно времени его возвращения в исходное положение.

Остается найти численные ответы. В качестве примера приведем вычисления по формуле (5.6):

S = = = 0,1529 » 0,15 (м).

Прежде чем подставлять численные значения, нужно убедиться в том, что все величины выражены в соответствующих друг другу единицах измерения (как правило, используются единицы СИ). В квадратных скобках приведены грубые оценки (оценки по порядку величины), при которых все величины округляются, как правило, до одной значащей цифры. Далее приводится результат вычисления с помощью калькулятора. Ответ нужно округлить в данном случае до двух значащих цифр, поскольку такое число верных значащих цифр содержится в числителе расчетной формулы. В знаменателе число 2 – точное. Оно не влияет на погрешность ответа. Число 9,81 содержит три значащих цифры, но точность результата деления (или умножения) не может быть выше точности участвующих в этих действиях чисел.

Остальные ответы оцените, подсчитайте и округлите самостоятельно. Сопоставьте их с приведенными здесь значениями:

t₁ = 2,0 с; l₁ = 0,20 м; t₂ = 4,1 с.

Как оформить решение задачи? Разумеется, следует привести краткую запись условия, рисунок (или рисунки), все формулы и вычисления. Но этого не достаточно. Чтобы с этим решением можно было разобраться по прошествии некоторого времени, нужно хотя бы кратко, а в контрольных работах подробно, обосновать все исходные и получаемые соотношения. Ни пункты общего плана, ни процесс поиска «путей к заветной цели» в тексте решения обычно не отражаются. Это – одна из причин, по которым трудно научиться решать, лишь знакомясь с текстами решений. Овладеть технологией нельзя, любуясь готовыми результатами труда; необходимо непосредственно применять эту технологию.

Подойдя к финишу задачи, полезно оглянуться на пройденный путь. Что поучительного есть в данной задаче? Что может пригодиться в дальнейшем? Анализ хода решения с этих позиций пополняет «копилку опыта», облегчает решение последующих задач.

В копилку опыта

· Следуйте общему плану решения физических задач.

· Не отождествляйте описание того, как следует искать решение, с текстом решения. В тексте решения вовсе не обязательно «рапортовать» о выполнении каждого пункта плана.

· В дальнейшем изложении не все этапы будут освещаться одинаково подробно, а некоторые лишь подразумеваться.