Гидростатическое давление и его свойства

Напомним, что в разделе гидростатики исследуется жидкость, находящаяся в состоянии равновесия (или относительного покоя), скорости движения и угловые скорости сдвига равны нулю. В этом случае сопротивляемость жидкости сдвигающим и растягивающим усилиям отсутствует.

Введем понятие гидростатического давления.

Рассмотрим произвольный объем жидкости, находящийся в равновесии (рис. 2.1). Мысленно рассечем его плоскостью BC на две части I и II, первую мысленно отбросим. Для сохранения равновесия второй части суммарное воздействие на нее отсеченной части заменим силой P.

I ΔP

B Δω A C

II

Рис. 2.1

Пусть площадь всей плоскости разреза равна ω. Тогда среднее гидростатическое давление на площади BC

.

Для того, чтобы определить давление в точке A, выделим вокруг нее малую площадку Δω, сила, приходящаяся на эту площадку – ΔP.

Гидростатическим давлением в точке A называется предел

.

Из определения текучести среды следует, что в состоянии покоя в жидкости касательные напряжения равны нулю, и в каждой точке произвольно ориентированной в пространстве площадки действуют только нормальные напряжения. Отсюда вытекает первое свойство гидростатического давления: гидростатическое давление всегда совпадает с направлением внутренней нормали к рассматриваемой площадке.

Предположим обратное – что сила гидростатического давления направлена не по нормали к поверхности выделенного объема. Тогда ее можно разложить на нормальную и касательную составляющие. Но касательная составляющая вызвала бы скольжение жидкости вдоль поверхности. А мы рассматриваем случай покоящейся жидкости, т. е. неподвижной и находящейся в равновесии. Значит, на поверхности существуют только нормальные составляющие давления. Более того, они направлены внутрь рассматриваемого объема (иначе на поверхности возникли бы растягивающие напряжения, а их жидкости не воспринимают), следовательно, являются сжимающими.

Второе свойство гидростатического давления состоит в следующем: величина гидростатического давления в данной точке не зависит от направления той площадки, на которую оно действует.

p₁

p₂

Рис. 2.2

Направление площадки будем характеризовать направлением нормали к ней. Второе свойство давления означает, что если через одну точку внутри жидкости провести две по-разному ориентированные площадки (рис. 2.2), то гидростатические давления p₁и p₂, действующие на этих площадках, по величине будут одинаковы, т. е. .

Для доказательства второго свойства давления выделим в неподвижной жидкой среде элементарный объем в форме тетраэдра (рис. 2.3) с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными dx, dy, dz.

z

p_y+ε_y

dzp_n+ε_n

p_x+ε_x

dx

x

dy

p_z+ε_z

y

Рис. 2.3

Рассмотрим условия равновесия этого объема жидкости. В общем случае на тетраэдр действуют следующие силы:

· объемные силы, проекции на оси которых, приходящиеся на единицу массы, будут X, Y, Z;

· поверхностные силы со стороны отброшенной части жидкости.

Составим уравнение равновесия в проекции, например, на ось x.

Проекция объемных сил, действующих на весь тетраэдр, будет:

.

Обозначим давление в центре координат – p, проекции его – p_x, p_y, p_z.

Тогда давление в центре тяжести грани dydz можем записать как (p_x + ε_x), где ε_x – малая величина. Аналогично, давление в центре тяжести грани dxdy будет (p_z + ε_z), в центре тяжести грани dxdz – (p_y + ε_y), в центре тяжести скошенной грани – (p_n + ε_n). Силы, действующие на грани, получаем, умножая эти давления на площади соответствующих граней.

Поскольку давления на грани dxdy и dxdz перпендикулярны оси x, их проекции на эту ось будут нулевыми и уравнение равновесия в проекции на ось x будет:

.

Здесь dω – площадь скошенной грани тетраэдра, (n,x) – угол между осью x и нормалью к скошенной грани n.

Последним членом уравнения, как бесконечно малой величиной высшего порядка по отношению к другим членам уравнения, можно пренебречь.

Произведение dω cos (n,x) – это проекция скошенной грани на плоскость yz. Тогда

.

С учетом этого из уравнения получаем

Так как размеры тетраэдра выбраны произвольно, то, уменьшая их (стягивая тетраэдр в точку), будем иметь: . Из этого следует, что . Рассуждая аналогично для проекций уравнения равновесия на другие оси, в результате получим:

Следовательно,

Направление n также выбрано произвольно, следовательно, гидростатическое давление не зависит от наклона площадки, на которую оно действует. При этом давление не будет одинаковым в разных точках пространства, занятого жидкостью, гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве:

p = f (x, y, z).

Законы распределения давления в покоящейся жидкости и рассматриваются в гидростатике.

Заметим, что касательные напряжения в покоящейся жидкости равны нулю независимо от вязкости жидкости, а не только в идеальной жидкости.

Для сохранения сплошности жидкости давление в ней не должно быть меньше некоторого минимума, равного давлению насыщенных паров при данной температуре, т. е.

p > p_min = p_н.п.

Если это условие не соблюдается, то при понижении давления ниже минимального происходит разрыв сплошности жидкости. Жидкость закипает, т. е. при понижении давления в жидкости начинается образование пузырьков пара. Если жидкость движется, то возникает явление кавитации.