Однородные ДУ первого порядка
Определение 1.9. Функция 
называется однородной функцией 
-го порядка (измерения) относительно переменных 
и 
, если при любом 
справедливо тождество
.
Например, функция 
- однородная функция первого порядка (измерения), так как 
.
Функция 
- однородная функция второго порядка, так как 
.
Функция 
- есть однородная функция нулевого порядка, так как
.
Определение 1.10. ДУ первого порядка
(1.3)
называется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого порядка относительно и .
Однородные ДУ преобразуются в ДУ с разделяющимися переменными путем подстановки 
и 
. Находим его общее решение (или общий интеграл). Затем следует заменить в нем 
на 
. Получаем общее решение (или общий интеграл) исходного уравнения.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
(1.4)
где 
и 
- однородные функции одинакового порядка.
Общее решение или общий интеграл ДУ (1.4) находится по той же схеме, как и для однородного ДУ (1.3).
Пример 1.6. Решить ДУ: 
.
Решение. Данное уравнение является однородным, т.к. функции 
и 
- однородные функции второго порядка.
Сделав подстановку и 
, получаем:
.
Последнее уравнение является ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, получаем:
.
После интегрирования и преобразования имеем:
.
Заменяем на , получаем 
- общий интеграл исходного уравнения.
,
Замечание. Уравнение вида 
, где 
- числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого вводят новые переменные и 
, положив 
, 
, где 
и 
- числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало однородным.
Линейные уравнения
Определение 1.11. ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде
, (1.5)
где 
и 
-заданные функции, или в частном случае – постоянные.
Особенность ДУ (1.5): искомая функция и ее производная входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.
Для решения линейного ДУ первого порядка используют метод И.Бернулли.
Метод И.Бернулли
Решение уравнения (1.5) находится в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью подстановки 
, где 
и 
- неизвестные функции от . Тогда 
. Подставляя выражения и 
в уравнение (1.5), получаем
или
. (*)
Подбираем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решается ДУ 
. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, т.е. 
. После интегрирования и преобразований получаем
.
Ввиду свободного выбора функции 
, можно принять 
.
Подставляем найденную функцию в уравнение (*), получаем
.
Получившееся уравнение является также ДУ с разделяющимися переменными. Решаем его и находим функцию 
:
.
Далее находим функцию по формуле
или
.
Пример 1.7. Решить задачу Коши:
.
Решение. 1) Применим подстановку и . Далее имеем
.
.
2) Полагаем 
. Откуда 
. Интегрируем последнее уравнение, получаем
,
.
3) Для определения имеем следующее уравнение 
. Откуда находим
, Þ 
, Þ 
.
4) Умножая на , получаем общее решение данного уравнения
.
5) Используя начальное условие 
, имеем
Þ 
.
Следовательно, частное решение исходного уравнения примет вид
. ,
Замечание. Уравнение вида 
, где 
- заданные функции, можно свести к линейному, если считать функцией, а - аргументом, т.е. 
.Тогда, используя равенство 
, после преобразования, получаем 
- линейное относительно уравнение. Его решение находят в виде 
, где 
и 
- неизвестные функции от .
Пример 1.8. Найти общее решение ДУ: 
.
Решение. Учитывая, что , от исходного уравнения переходим к линейному уравнению 
.
Применим подстановку , тогда 
. Получаем
или
.
Находим функцию : 
Þ 
.
Находим функцию :
Þ 
Þ 
.
Значит, общее решение данного уравнения:
или
.
,