Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Уравнения вида

,

(8.4.1)

называется однородным, если и однородные функции степени .

Понятие однородного дифференциального уравнения связано с понятием однородной функции.

Определение

Функция называется однородной функцией степени , если для произвольного числа выполняется равенство .

Пример

Выяснить, являются ли однородными следующие функции:

а) . Так как , то данная функция однородна степени 2.

б) , . Функция однородна степени 0.

в) , . Данная функция неоднородная.

Дифференциальное уравнение вида (8.4.1) можно привести к виду

(8.4.2)

и при помощи подстановки ( – неизвестная функция) преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными. Поскольку , то . После того, как общее решение последнего уравнения будет найдено, необходимо вернуться к старой функции .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Разделим уравнение почленно на . Получим . Выполним замену . Следовательно, . Подстановка в исходное уравнение дает – уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим . Возвращаясь к функции , получим общее решение уравнения: .

Логарифмирование решения дает: .

Пример

Найти частное решение уравнения в точке .

Решение

Уравнение однородное нулевой степени – или . В результате подстановки получим уравнение с разделяющимися переменными относительно функции : . Интегрирование этого уравнения дает функцию: . Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид: . Частное решение, соответствующее начальному условию, имеет вид: .

Определение

Дифференциальное уравнение вида

.

(8.4.3)

где и – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение линейно, что и объясняет название уравнения.

Если , то уравнение (8.4.3) называется линейным однородным уравнением, если же , то уравнение (8.4.3) называется линейным неоднородным уравнением.

Пусть линейное однородное уравнение.

(8.4.4)

соответствует уравнению (8.4.3). Мы рассмотрим так называемый метод вариации постоянной – метод решения неоднородного уравнения, основанный на предварительном решении однородного уравнения (8.4.4).

Уравнение (8.4.2) можно решить методом разделения переменных:

, откуда .

Потенцируя, получаем общее решение уравнения (8.4.4):

,

(8.4.5)

где .

Общее решение неоднородного уравнения (8.4.3) ищем в виде (8.4.5), полагая константу новой неизвестной функцией от аргумента .

.

(8.4.5а)

Подставим решение (8.4.5а¢) в уравнение (8.4.3).

,

откуда после приведения подобных получаем уравнение для :

.

(8.4.6)

Интегрирование уравнения (8.4.4) дает выражение для : .

Подставляя выражение для в формулу общего решения, получаем окончательное выражение для решения неоднородного уравнения:

,

(8.4.7)

где – произвольная постоянная.

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции . К таковым относится уравнение Бернулли:

,

(8.4.8)

где и – непрерывные функции, а – некоторое постоянное число. При имеем линейное неоднородное уравнение, а при – линейное однородное уравнение .

Пусть и . Введем новую функцию . Тогда . Поделим обе части уравнения (8.4.8) на и умножим на : .

Выполняя замену, получим линейное неоднородное уравнение относительно новой функции : . Метод решения последнего нами уже изучен.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Сначала решим соответствующее однородное уравнение . Разделяя переменные, получим .

Полагая функцией от и подставляя найденное решение в исходное неоднородное уравнение, получаем после приведения подобных дифференциальное уравнение для : .

После интегрирования этого уравнения и подстановки в уже найденное решение однородного уравнения получим искомое общее решение исходного уравнения: .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Опять начнем с однородного уравнения . После разделения переменных и интегрирования уравнения получаем общее решение однородного уравнения . Полагая, что , получаем после подстановки в неоднородное уравнение . Откуда . Стало быть, общее решение исходного уравнения имеет вид .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Данное нелинейное уравнение представляет собой уравнение Бернулли при . Заменой искомой функции мы получим линейное неоднородное уравнение относительно : . По формуле (8.4.7) получаем общее решение этого уравнения . Теперь выполняя обратную замену , получаем решение исходного нелинейного уравнения:

Рассмотрим еще один из возможных способов решения линейного неоднородного уравнения (8.4.3) и уравнения Бернулли (8.4.8).

Решение этих уравнений ищем в виде произведения двух функций . Тогда линейное уравнение и уравнение Бернулли сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

Так как , то линейное уравнение (8.4.3) преобразуется к виду .

Найдем сначала какое–нибудь частное решение уравнения . Тогда функция - решение уравнения .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Исходное уравнение есть линейное неоднородное уравнение . Пусть , тогда . Следовательно, или . Положим . Проинтегрировав это уравнение, найдем какое–нибудь частное решение этого уравнения . Например, при получаем . Подставляя в уравнение функцию , получим уравнение относительно функции : . Решением этого уравнения с разделяющимися переменными есть функция . Окончательное выражение для решения исходного уравнения имеет вид .