Метод деления отрезка пополам

Все вышеописанные методы могут работать, если функция f(x) является непрерывной и дифференцируемой вблизи искомого корня. В противном случае они не гарантируют получение решения.

Для разрывных функций, а также. если не требуется быстрая сходимость, для нахождения простого корня на интервале (a, b) применяют надежный метод деления отрезка пополам. Его алгоритм основан на построении рекуррентной последовательности по следующему закону: в качестве начального приближения выбираются границы интервала, на котором точно имеется один простой корень далее находится его середина очередная точка x₃ выбирается как середина того из смежных с x₂ интервалов или , на котором находится корень. В результате получается следующий алгоритм метода деления отрезка пополам:

1. Вычисляем .

2. Вычисляем .

3. Если тогда

иначе .

4. Если тогда повторять с п.2.

5. Вычисляем

6. Конец.

За одно вычисление функции погрешность уменьшается вдвое, то есть скорость сходимости невелика, однако метод устойчив к ошибкам округления и всегда сходится.

Варианты заданий

1. По схеме, приведенной на рис.1.7 создать и отладить программу отделения всех корней функции f(x) на указанном интервале [a, b], в соответствии с полученным вариантом из табл. 1.1.

2. Далее создать программу уточнения корня указанным итерационным методом. Метод нахождения корня оформить в виде отдельной функции.

Выбрать точность e=10^-3, e=10^-4, e=10^-5. Функция должна проверить правильность определения корня (f(x^*) приблизительно равна нулю).

3. Решить уравнение для выбранного интервала методом деления отрезка пополам

Рис.1.7

Таблица 1.1

N	f(x)	Интервал	методы
А	B
		-2		Метод простой итерации
2		-1		Метод секущих
				Метод простой итерации
				Метод простой итерации
				Метод секущих
				Метод простой итерации
				Метод секущих
		-4		Метод секущих
		-12		Метод Ньютона
		-2		Метод Ньютона
		-6		Метод Ньютона
		-4		Метод Ньютона
		-7		Метод секущих
		-4		Метод простой итерации
		-4		Метод секущих

Примечание.

В табл. 1.1. все функции на указанном интервале имеют три корня.

Контрольные вопросы

1. Как решается задача нахождения корней уравнения?

2. В чем суть метода простой итерации и условие его сходимости?

3. Дайте геометрическую интерпретацию метода Ньютона.

4. В чем отличие метода Вегстейна от метода секущих?

5. Дайте геометрическую интерпретацию метода секущих (хорд).