Тема 5.1 Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Методы приближенного интегрирования позволяют находить приближенное значение определенного интеграла от любой непрерывной функции с практически достаточной точностью. Излагаемые численные методы основаны на следующем: рассматривая интеграл как площадь криволинейной трапеции, мы получим ее приближенное значение, т.е. приближенное значение интеграла, если вычислим площадь другой трапеции, ограничивающая линия которой по возможности, мало отклоняется по положению от заданной линии. Вспомогательную линию при этом проводим так, чтобы получилась фигура, площадь которой легко вычисляется.

Существуют следующие правила численного интегрирования:

1) правило прямоугольников и правило трапеций;

2) правило параболических трапеций, называемое правилом Симпсона.

1.Правило прямоугольников и правило трапеций.

y

y=f(x)

y₀ y₁ y₂ y₃ y_n-1

0а=х₀ х₁ х₂ х₃ х_n=b x рис.18

Разделим интервал интегрирования [a;b] на n равных частей (рис.18)

( частичных интервалов) и заменим данную трапецию на ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, опирающихся на частичные интервалы, причем высоты этих прямоугольников равны значению функции в начальных или конечных точках частичных интервалов(у₁, у₂, у₃, …, у _n). Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение искомого интеграла: I= .результат будут тем более точен, чем больше взято число частичных интервалов.

Если обозначить длины частичных интервалов как и подсчитать все значения функции y_i( где i=0,1,2,3,…,n-1), то получим формулу:

Эта формула называется формулой прямоугольников.

На практике эта формула используется редко, т.к. естественнее ожидать, что взяв вместо прямоугольников обычные трапеции , мы практически притом же объеме работы получаем более точный результат.

Для этого составим тоже разбиение интервала [a;b] , но заменим теперь каждую дугу линии у= , соответствующую частичному интервалу, хордой, соединяющей конечные точки этой дуги ( рис.19).

Т.о. мы заменяем данную криволинейную трапецию , на n прямолинейных трапеций. И значение интеграла будет более точным.

у

y=f(x)

0а=х₀ х₁ в=х_n х

рис. 19

.

Эта формула носит название формулы трапеций.

2.Правило параболических трапеций.

Но и формула трапеций не является наилучшей. Оказывается, что самой удачной приближенной формулой будет та, которая получается, если через тройки соседних точек на графике функции, возникающих в результате разбиения отрезка [a;b] , проводить параболы с вертикальной осью (рис. 20), вычисляя соответствующие коэффициенты a_i, b_i, c_i в уравнениях парабол y=a_ix²+b_ix+c_i.

Соответствующая формула носит название формулы параболических трапеций или Симпсона. Ценность ее не только в повышенной точности, но и в удобстве оценки погрешности приближенного вычисления . Вид формулы не приводиться,

у

y=f(x) y=a_ix²+b_ix+c_i.

0 x_i x_i+1 x

рис.20

поскольку ее редко применяют для «ручного счета», а пользуются готовыми компьютерными программами.

3.Характеристики приближенного числа ( абсолютная и относительная погрешности).

Обозначим приближенное значение числа а через А.

Абсолютную величину разности числа а и его приближенного значения А называют абсолютной погрешностью, т.е.

| a-A|.

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного значения числа, т.е.

.

Пример. Вычислить приближенное значение интеграла

Решение: 1) Точное значение интеграла: =2;

2) по формуле трапеций получаем:

0

3) Абсолютная погрешность: | 2-1.9541|=0.0459;

Относительная погрешность :

Ответ: I≈1,9541.

Упражнения:

В задачах вычислить по формулам прямоугольников приближенные значения интегралов и сравнить с точными значениями:

а)