Методы прямоугольников вычисления определенных интегралов

Данные методы относятся к простейшим из класса методов Ньютона-Котеса. В них подынтегральная функция f(x) на каждом интервале разбиения заменяется полиномом нулевой степени, т.е. константой. Такая замена является неоднозначной, т.к. константу можно выбрать равной значению f(x) в любой точке данного интервала разбиения.

В любом случае значение частичного интеграла определяется как произведение длины интервала разбиения на выбранную константу, т.е. как площадь прямоугольника. В зависимости от способа выбора аппроксимирующей константы различают методы левых, средних или правых прямоугольников (рис.6.4).

Левые

Средние

Правые

Рис.6.4. Геометрическая интерпретация методов прямоугольников

Введем следующие обозначения: точку a на оси OX обозначим через x₀, точку b - через x_n, а точки разбиения промежутка [a,b] - через x₁, x₂,..., x_n-1. Предполагается, что длина интервала разбиения постоянна на всем [a,b]. Обозначим ее через h:

; x_i= x_i-1 + h, i =1,2,...,N.

Тогда в методе левых прямоугольников площадь каждого i-го прямоугольника

Si = h f(xi), i = 0,1,2,...,n-1,

(6.2)

а для всего промежутка [a,b]: