Функции нескольких переменных. Основные понятия

Основные понятия

1.1. Для определения функции нескольких переменных необходимы некоторые понятия, связанные с геометрией на плоскости и в пространстве.

Точки на плоскости обозначаются или просто , где x и y называются координатами точки P. Расстояние между точками и определяется формулой

.

Для удобства перехода к n-мерному пространству точки на плоскости можно обозначить , где x₁ и x₂ будут называться координатами точки X, а расстояние между точками и будет определяться формулой

.

В n-мерном евклидовом пространстве расстояние между точками и вычисляется аналогично:

.

Принадлежность точки пространству или плоскости обозначается .

1.2. Множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству

,

называется открытым кругом радиуса a с центром в точке .

Множество же точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам

,

называется открытым прямоугольником.

1.3. Любой открытый круг радиуса или открытый квадрат со стороной длины с центром в точке называется δ-окрестностью этой точки.

Окрестностью точки “ ” ( обозначается ) называется множество всех точек таких, что

.

Это обозначается так: .

1.4. Аналогично, множество точек , для которых выполняется неравенство

,

называется n-мерным открытым шаром радиуса a с центром в точке .

Множество же точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам

.

называется n-мерным открытым параллелепипедом.

1.5. Любой открытый n-мерный шар радиуса δ или куб с центром в точке и длиной ребра 2δ называется n-мерной δ-окрестностью этой точки.

1.6. Мы рассматривали открытые шары и кубы, но это же верно и для замкнутых шаров и кубов. Только все неравенства, с помощью которых они определялись, будут нестрогими. При этом шары и кубы также являются множествами.

Пусть D- некоторое множество точек пространства . Точка называется внутренней точкой множества D, если существует δ-окрестность точки P такая, что она полностью включается в множество D

.

Точка P называется граничной точкой множества D, если в любой ее δ-окрестности содержатся как точки из множества D, так и точки, не принадлежащие множеству D. Совокупность граничных точек называется границей и обозначается или , т.е. .

Множество D называется замкнутым, если , т.е. любая граничная точка включается в множество D.

Множество D называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество D называется связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей D.

Связное открытое множество называется областью.

Множество D называется ограниченным, если существует такая δ-окрестность начала координат , что все точки множества D принадлежат ей.

Функции нескольких переменных

2.1. Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается некоторое множество точек из плоскости , и если каждой точке , имеющей координаты , в силу некоторого закона приведено в соответствии число , то говорят, что на множестве задана функция двух переменных . Множество называется областью определения функции .

Функцию от двух переменных можно изобразить в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат в виде геометрического места точек , а область определения – на плоскости .

Пример. Геометрическим местом точек для функции является верхняя половина шаровой поверхности (рис.1). Область определения находится, исходя из условия неотрицательности подкоренного выражения (рис.2):

(если граница области не включается, то изображается штриховой линией).

Рисунок 1

Рисунок 2

2.2. Не всегда удается изобразить график функции. Построение графиков упрощается с помощью линий уровня.

Линией уровня называется множество точек , в которых функция принимает одинаковое значения.

Пример. Построить линии уровня функции .

Согласно определению линии уровня: при , откуда . Это уравнение определяет окружности радиуса с центром в начале координат (рис.3). При линия уровня выражается в точку . .

Рисунок 3

2.3. Функция нескольких переменных, которую можно записать в виде

,

определяется аналогично.

При это определение лишено наглядности изображения. При область определения функции можно представить в пространстве. В этом случае вместо линий уровня вводится понятие поверхностей уровня. Они точно так же могут вырождаться в какую-либо кривую или точку.

Предел функции

3.1. Пусть функция определена в некоторой -окрестности точки за исключением, быть может, самой этой точки.

Число называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого существует такое , что из условия

следует

.

Предел функции обозначается так:

.

Пример. Покажем на основе этого определения, что предел функции в точке равен 6. Это значит, что для произвольного необходимо найти такую точку - окрестности точки , что из условия следует равенство .

Рассмотрим квадрат со стороной с центром в точке . Если точка принадлежит этому квадрату, то

и для таких точек квадрата

для . Если положить, что , то получается необходимое неравенство для всех точек квадрата. А для точек круга радиуса с центром в точке тем более выполняется это неравенство. Таким образом, указана - окрестность , для всех точек которой выполняется это неравенство .

Пример. Докажем, что функция

имеет предел, равный нулю, в начале координат .

Функция не определена в точке , но имеет предел в этой точке.

Зададим произвольное . Тогда если , то по определению .

.

Положив , получаем необходимое неравенство.

Пример. Вычислим , используя замечательный предел.

Функция не определена на оси абсцисс, но в точке имеет предел. В самом деле, сделав замену , имеем

.

Пример. Рассмотрим функцию . Пусть точка стремится к по параболе , где . Тогда

,

т.е. подходя к точке по различным параболам (для различных ), получаем различные пределы. А это означает отсутствие предела.

3.2. Пусть функция определена в окрестности . Число называется пределом функции при , если для любого существует такое , что из условия

следует, что .

Пример. Покажем, что

.

Зададимся произвольными . Если , то или и ; далее, очевидно, что или , поэтому , следовательно . Положив , получим необходимые неравенства.

Пример. Вычислим . Для этого введем полярные координаты , , тогда . Из условия , вытекает, что и . Здесь произвели замену переменной , откуда если , то .

Непрерывность функции

4.1. Пусть функция определена в некоторой δ – окрестности точки , в том числе в самой точке . Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в точке существует и равен значению функции в этой точке, т.е. .

Функцию называют непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Условие непрерывности в точке можно записать в эквивалентной форме:

.

Можно ввести приращение функции :

.

Это означает, что условие непрерывности функции в точке эквивалентно выполнению равенства

.

Понятие предела и непрерывности для функции нескольких переменных аналогичны соответствующим понятиям для функции одной переменной, поэтому основные теоремы для непрерывных функций одной переменной остаются справедливыми и для функции нескольких переменных, при этом роль отрезка играет замкнутое множество.

4.2. Точка множества, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции. Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва ( для ) и т.д.

Пример. Функция непрерывна при любых значениях x и y, т.е. в любой точке плоскости . Действительно, преобразовав функцию

,

найдем приращение функции

следовательно,

.

Пример. Найти точки разрыва функции

.

Функция определена в точках, в которых знаменатель обращается в ноль. Поэтому она имеет поверхность разрыва- плоскость .

Заметим, что разрыв в точке , где , можно устранить, положив

,

т.е. точка является точкой устранимого разрыва.

Пример. Найти точки разрыва функции

.

Заметим, что разрыв в точке , где можно устранить, положив

,

т.е. точка - точа устранимого разрыва.

Пример. Найти точки разрыва функции

.

Функция определена всюду, кроме точки . Рассмотрим значение z вдоль прямой :

.

Подходя к точке по различным прямым, мы будем получать различные предельные значения, зависящие от k. Это значит, что функция не имеет предела в точке . Функцию нельзя доопределить в этой точке так, чтобы она стала непрерывной. Следовательно, эта точка является точкой неустранимого разрыва.

Частные производные

5.1. Пусть функция определена в некоторой – окрестности точки . Если дать независимой переменной приращение , то функция получит приращение, которое называют частным приращением функции по аргументу и обозначают символом , так что

.

Аналогично определяется частное приращение по :

.

Наконец, сообщив аргументу приращение , а аргументу – приращение , можно получить для новое приращение , которое называется полным приращением функции , определяемое формулой

.

Надо заметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е.

.

Пример. .

Аналогичным образом определяются частные и полное приращения функции любого числа переменных.

5.2. Частной производной по (по ) от функции называется предел отношения частного приращения по ( по ) к приращению при стремлении к нулю и обозначается одним из символов

.

Таким образом, по определению,

.

или

.

Как это видно, правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Пример. .

.

Частные производные и , вообще говоря, являются функциями переменных и .

5.3. Если у функции (у функции ) существует частная производная по переменной (по переменной ), то ее называют частной производной второго порядка от функции по переменной (по переменной ) и обозначают (и ) или (и ).

Таким образом, по определению:

.

Если существует частная производная от функции (от функции ) по переменной (по переменной ), то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка от функции и обозначают символом

.

Как это видно для функции от двух переменных , можно рассматривать четыре производных второго порядка.

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . Получим частные производные третьего порядка. Их будет уже восемь:

.

Вообще, частная производная – го порядка есть первая производная от производной –го порядка. Например,

Естественно возникает вопрос, будут ли равны между собой частные производные, если они взяты по одним и тем же переменным одно и то же число раз, но в разном порядке. Например, равны ли

и и ?

В общем случае скажем: если нарушается непрерывность в точке у этих производных, то ответ на этот вопрос отрицательный.

Пример.

.

Вычислим частные производные этой функции:

Аналогично вычисляются смешанные производные:

Таким образом, .

5.4 Теорема (о смешанных производных)

Пусть функция определена вместе со своими частными производными в некоторой – окрестности точки , причем непрерывны в этой точке, тогда результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Пример.

как видно, .