Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат

Уравнение прямой имеет вид: Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru , где х1 = у1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

4.Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k2 = 2 tgj = Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru ; j = p/4.

5.Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k1 = 3/5, k2 = -5/3, k1k2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

6. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0; Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru . Тогда y = Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru откуда b = 17. Итого: Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Тема №2-4. Кривые 2 порядка: окружность, эллипс,гипербола,парабола.

Построение кривых 2 порядка. Составление уравнений кривых 2-го порядка.

Кривая второго порядка задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru - уравнение эллипса.

2) Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru - уравнение “мнимого” эллипса.

3) Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru - уравнение гиперболы.

4) a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y2 = 2px – уравнение параболы.

6) y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.

Рассмотрим кривые 2 порядка: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.Окружностью называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки О, называемой центром окружности, на расстояние R . Число R > 0 называется радиусом окружности.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке О ( х0 , у 0 ) имеет вид:

( х – х0 ) 2 + ( у – у 0 ) 2 = R 2 .

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности упрощается:

х 2 + у 2 = R 2 .

Пусть Р ( х1 , у 1 ) – точка окружности ( рис.1 ), тогда уравнение касательной к окружности в данной точке имеет вид:

( х1 – х0 ) ( х – х0 ) + ( у1 – у 0 ) ( у – у 0 ) = R 2 .

Условие касания прямой y = m x + k и окружности х 2 + у 2 = R 2 :

k 2 / ( 1 + m 2 ) = R 2 .

Эллипс

Эллипсомназывается геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2 , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Уравнение эллипса( рис.1 ) :

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ ( рис.1 ) , при a < b фокусы эллипса лежат на оси ОY , а при a = b эллипс становится окружностью ( фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности ). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса.

Отрезок F1F2 = 2 с , где Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осью эллипса. Число e = c / a , e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.

Пусть Р ( х1 , у 1 ) – точка эллипса, тогда уравнение касательной к эллипсув данной точке имеет вид:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Условие касания прямой y = m x + k и эллипса х 2 / a 2 + у 2 / b 2 = 1 :

k 2 = m 2 a 2 + b 2 .

Гипербола

Гиперболой( рис.1 ) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2 , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Уравнение гиперболы( рис.1 ) :

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии.

Отрезок F1F2 = 2 с , где Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осью гиперболы. Число e = c / a , e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые y = ± ( b / a ) x называются асимптотами гиперболы.

Пусть Р ( х1 , у 1 ) – точка гиперболы, тогда уравнение касательной к гиперболев данной точке имеет вид:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Условие касания прямой y = m x + k и гиперболы х 2 / a 2 – у 2 / b 2 = 1 :

k 2 = m 2 a 2 – b 2 .

Парабола

Параболой( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки F , называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Уравнение параболы( рис.1 ) :

y 2 = 2 p x .

Здесь ось ОХ является осью симметрии параболы.

Пусть Р ( х1 , у 1 ) – точка параболы, тогда уравнение касательной к параболев данной точке имеет вид:

у 1 y = p ( x + х1 ) .

Условие касания прямой y = m x + k и параболы y 2 = 2 p x :

2 m k = p .

1.Найдите все параметры, характеризующие данные кривые второго порядка. Определите типы этих кривых, сделайте рисунки.
а) 9x² + 64y²=576
б) y²=6x

в) 9x2-16y2=144

Решение.

a) 9x²+ 64y² = 576 - уравнение эллипса

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru - каноническое уравнение эллипса
a = Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru = 8 и b = Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru = 3 - полуоси эллипса

Точки А(8,0), А'(-8,0), В(0,3), В'(0,-3) - вершины эллипса

с = Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Точки F( Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru ,0) и F'(- Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru ,0) - фокусы эллипса

ε = с/а =( Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru )/8 - эксцентриситет эллипса

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

б) y² = 6x - уравнение параболы, симметричной относительно оси Ox,

т.е. прямая у = 0 - ось симметрии.
2р = 6
р = 3
Точка F(3/2,0) - фокус параболы.
Прямая х = -3/2 - директриса параболы

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

в) Приведем данное уравнение к каноническому виду (разделив его на 144):

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Отсюда следует, что a2=16, b2=9. Следовательно, a=4 -действительная полуось, b=3 - мнимая полуось. Тогда Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru Значит, фокусы имеют координаты F1(-5,0), F2(5,0). Находим эксцентриситет Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru
Уравнения асимптот имеют вид у = Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru , а уравнения директрис Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru .

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

2. Определить вид и расположение кривой

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Решение.

Дополним члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Отсюда получаем

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Следовательно, кривая, заданная исходным уравнением, представляет собой эллипс с полуосями
Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Центр эллипса находится в точке щ Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru .

3. Найти координаты центра и радиус окружности x2+y2-6x+10y-15=0.

Решение.

В данном уравнении выделим полные квадраты, прибавляя и вычитая соответствующие числа. Получаем

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат - student2.ru

Отсюда находим а = 3, b= -5, R = 7.

Ответ: центр А(3;-5), радиус R=7.

Наши рекомендации