Методика изучения некоторых видов типовых составных задач

В начальных классах решаются некоторые виды типовых арифмети­ческих задач. Сюда относятся задачи, связанные с пропорциональными величинами и задачи, связанные с движением.

а) Задачи, связанные с пропорциональными величинами. Среди них различают три вида задач:

- на нахождение четвертого пропорционального (на простое трой­ное правило);

- на пропорциональное деление;

- на нахождение неизвестных по двум разностям.

Все три вида задач содержат по три величины, одна из которых постоянная, а две другие – переменные. Для любого набора трех величин можно составить по 6 разновидностей каждого вида задач.

Названные виды задач различаются своими данными и искомыми.

Задачи на нахождение четвертого пропорционального. В этих задачах даны два значения одной переменной величины и одно значение другой пе­ременной величины, второе значение является искомым (см. таблицу). Пер­вые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной. Каждую из этих шести за­дач можно решить способом нахождения значения постоянной величи­ны, т. е., сначала найти значение постоянной величины, а затем, исполь­зуя его, найти искомое.

Величины
№	Цена	Количество   чество	Стоимость	Задачи
1.	Постоянная   наяная	Даны два	Дано одно	В первый день магазин про-
		значения	значение,	дал 8 одинаковых книг и по­
			другое	лучил за них 48 рублей, во
			является	второй день было продано 6
			искомым	таких же книг. Сколько де-­
				нег получили за книги во
				второй день?
2.	Постоянная	Дано одно	Даны два	В первый день магазин про-­
		значение,	значения	дал 8 одинаковых книг и по-­
		другое		лучил за них 48 рублей, во
		является		второй день за продажу та-
		искомым		ких же книг магазин полу-­
				чил 36 рублей. Сколько книг
				продали во второй день?
3.	Даны два	Постоянная	Дано одно	Магазин продал на 48 рублей
	значения		значение,	несколько книг по 8 рублей и
			другое	столько же альбомов по 3 руб-­
			является	ля. Сколько денег получено за
			искомым	альбомы?
4.	Дано одно	Постоянная	Даны два	Магазин продал на 48 руб-­
	значение,		значения	лей несколько книг по 8 руб-­
	другое			лей и столько же альбомов
	является			на 18 рублей. Сколько стоит
	искомым			один альбом?
5.	Даны два	Дано одно	Постоянная	Магазин продал 6 книг по 8
	значения	значение,		рублей и несколько альбо-­
		другое		мов по 3 рубля. За все книги
		является		получено столько же денег,
		искомым		сколько и за все альбомы.
				Сколько продано альбомов?
6.	Дано одно	Даны два	Постоянная	Магазин продал 6 книг по 8
	значение,	значения		рублей и 16 альбомов. За все
	другое			книги заплатили столько же
	является			денег, сколько и за все аль­-
	искомым			бомы. Сколько стоит один
				альбом?

Решение этих задач основывается на знании соответствующих свя­зей между величинами. Следовательно, для успешной работы по форми­рованию умения решать задачи этих видов надо организовать соответ­ствующую подготовительную работу с простыми задачами, уделив при этом внимание выделению групп величин и раскрытию связей между ними (см. тему №11).

Первыми целесообразно рассмотреть задачи свеличинами: цена, ко­личество, стоимость, т.к. детям они более знакомы из жизни.

Одновременно с закреплением знаний о связях между величинами в процессе решения простых и составных задач по мере возможности полезно провести наблюдение за изменением одной из трех величин в зависимости от изменения другой при неизменной третьей. Например, пред­лагается упражнение в решении ряда односюжетных задач: "Тетрадь сто­ит 3 рубля. Сколько будут стоить 2 тетради; 3 тетради; 4 тетради; 9 тетра­дей; 11 тетрадей?" Решение целесообразно записать в таблице:

Цена тетради
Число тетрадей
Стоимость тетрадей

Прослеживая изменение величин, помогаем детям увидеть, что при увеличении (уменьшении) числа тетрадей их стоимость увеличивается (уменьшается), если тетради покупают по одной и той же цене. Следует обратить внимание учащихся и на другую зависимость: если числотетрадей увеличить (уменьшить) в несколько раз, то их стоимость увеличится (уменьшится) во столько же раз, если цена останется неизменной

После проведенной подготовительной работы решение задач на нахождение четвертого пропорционального способом нахождения значе­ния постоянной величины не вызывает затруднений у учащихся. Поэто­му при ознакомлении с решением задач очень важно правильно осуще­ствить руководство работой детей. Рассмотрим особенности работы над задачами этого вида.

Первые из рассматриваемых задач полезно иллюстрировать рисун­ком и выполнить краткую запись в таблице.

Например, предлагается задача: "Оля купила 5тетрадей в клетку и 4 тетради в линейку по такой же цене. За тетради в клетку она заплатила 10 рублей. Сколько она заплатила за тетради в линейку?" После чтения зада­чи учитель выполняет на доске рисунок или пользуется заготовленным.

			Тетрадь		Тетрадь		Тетрадь		Тетрадь

Тетрадь

	Тетрадь		Тетрадь		Тетрадь		Тетрадь

Затем под руководством учителя выполняется краткая запись:

Цена	Количество	Стоимость
К. Одинаковая	5 т.	10 р.
Л. Одинаковая	3 т.	? р.

При выполнении краткой записи обращается внимание на такие мо­менты:

- выделение величин, участвующих в задаче;

- оформление (что сказано о цене, как это записать?).

Полезно до решения задачи сделать прикидку, т. е. установить, какое число получится в результате решения: больше или меньше какого-либо из данных чисел, и объяснить почему. Например, учащиеся устанавлива­ют, что тетради в линейку будут стоить меньше, чем 10 рублей, потому что их купили меньше, чем тетрадей в клетку, а цена тетрадей одинаковая.

Решение первых задач следует записывать с пояснениями, а позднее по указанию учителя - иногда с пояснениями, а иногда без пояснений вы­полняемых действий. Проверка решения выполняется способом составле­ния и решения обратных задач и способом установления границ ответа.

Поиск пути решения следует провести, организуя беседу от вопроса.

- Что нужно узнать в задаче? (Сколько стоят 4 тетради в линейку.)

- Что нужно знать, чтобы узнать, сколько стоят 4 тетради в линейку? (Цену 1 тетради.)

- Она известна? (Нет.)

- А что мы о ней знаем? (Она такая же, как и тетради в клеточку.)

- Нам известна цена тетради в клеточку? (Нет.)

- А мы сможем ее найти? (Да.)

- Почему? (Нам известны стоимость и количество тетрадей в кле­точку.)

- Что же мы должны сделать, чтобынайти цену 1 тетради? (Сто­имость 10 р. разделить на количество 5.)

- Давайте составим план решения задачи. Что мы узнаем сначала, что потом? (Сначала мы узнаем цену тетради действием деления, затем узнаем стоимость 4 тетрадей в линейку действием умножения).

- Запишем решение.

10 : 5 = 2 (р.) - цена тетради.

2 – 4 = 8 (р.)

- А теперь запишем решение, составив выражение:

10 : 5 – 4 = 8 (р.) -

Ответ: 8 рублей стоят 4 тетради в линейку.

Задачи на пропорциональное деление. Эти задачивключают две пе­ременные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше постоянных, причем даны два или более значений одной пере­менной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые, этой суммы являются искомыми. Можно выделить 6 видов задач на пропор­циональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две с обратно пропорциональной зависимостью.

В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деле­ние только с прямо пропорциональной зависимостью величин. Эти зада­чи представлены в таблице.

Величины
№	Цена	Количество	Стоимость	Задачи
1.	Постоянная	Даны два	Дана сумма	Оля купила 5 тетрадей в клет-
		значения	Значений со­	ку и 3 тетради в линейку по
			ответствую­	такой же цене. Всего она зап-
			щих количе­	латила 16 рублей. Сколько
			ству. Найти	стоили тетради в клетку и
			слагаемые.	линейку в отдельности?
2.	Постоянная	Дана	Даны два	Оля купила тетради в клетку
		сумма	значения	и в линейку по одинаковой
		значений,		цене, всего 8 штук. За тетра-
		соответст­		ди в клетку она заплатила 1
		вующих		рублей, а за тетради в линей-
		стоимости.		ку 6 рублей. Сколько было
		Найти		куплено тетрадей в клетку
		слагаемые.		в линейку в отдельности?
3.	Даны два	Постоянная	Дана сумма	В магазине продали одинако-
	значения		значений,	вое количество шапок и шар-
			соответст­	фов. Шапка стоила 50 рублей,
			вующих	а шарф 30 рублей. За все про-
			стоимости.	данные вещи получили 24
			Найти	рублей. Сколько стоили
			слагаемые.	шапки и шарфы в отдельнос-
				ти?
4.	Дана сумма	Постоянная	Даны два	В магазине продали одинако-
	значений,		значения	вое количество шапок и шар-
	соответст­			фов. Шапка с шарфом стоит
	вующих			80 рублей. За все шапки по-
	стоимости.			лучили 150 рублей, а за все
	Найти			шарфы 60 рублей. Сколько
	слагаемые.			стоили шапка и шарф в от-
				дельности?

В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины. Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является сформированное умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального. При ознакомлении с задачами на пропорциональное деление лучше предлагать их не в готовом виде, а составить вместе с детьми из задач на нахождение четвертого пропорционального. Это по­может детям увидеть связи между задачами этих видов, что быстрее при­ведет учащихся к обобщению способа их решения.

Учащимся предлагается составить задачу по ее краткой записи:

Цена	Количество	Стоимость
I. Одинаковая	7 т.	14 р.
II. Одинаковая	3 т.	?

После решения задачи, составленной по данному условию, учитель записывает вместо вопросительного знака число, полученное в ответе (6 р.). Затем он предлагает найти сумму чисел, которые показывают сто­имость тетрадей (20 р.), и составить задачу по новому условию:

Цена	Количество	Стоимость
I. Одинаковая	7 т.	? ? 20 р.
II. Одинаковая	3 т.

Дети составляют задачу на пропорциональное деление, ставя два воп­роса: "Сколько заплатил первый ученик?" и "Сколько заплатил второй ученик?" Учитель поясняет, что эти два вопроса можно заменить одним:

"Сколько денег заплатил каждый ученик?" В окончательном виде задача формулируется примерно так: "Два ученика купили тетради по одинако­вой цене. Первый купил 7 тетрадей, а второй - 3. Всего они заплатили 20 рублей. Сколько денег заплатил каждый ученик?"

При обучении решению задач этого вида целесообразнопри разборесодержания задачи краткую запись состав­лять в виде таблицы. Кроме этого хорошо использовать и схемы, помогающие детям осмыслить содержание задачи и найти путь решения.

Запись решения задачи осуществляется в виде отдельных действий с пояснениями, так как задача содержит два вопроса.

1) 7 + 3 = 10 (т.) - стоят 20 рублей.

2) 20 : 10 = 2 (р.) - цена 1 тетради.

3) 2 • 7 = 14 (р.) - стоят 7 тетрадей.

4) 2 • 3 = 6 (р.) - стоят З тетради.

Далее включается решение готовых задач. В этом случае надо снача­ла расчленить вопрос задачи на два вопроса; затем выяснить, какое из искомых чисел должно быть больше и почему; далее перейти к составле­нию плана решения, ведя рассуждение от вопроса к числовым данным. Проверка решения выполняется способом установления соответствия между числами, полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, полученные в ответе, и должно получиться число, данное в задаче.

Возможны и другие подходы к введению задач на пропорциональное деление. Можно, например, начать с решения готовых задач, а позднее выполнить работу по преобразованию задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу на пропорциональное деление, сравнив как сами задачи, так и их решения.

Для обобщения способа решения в дальнейшем включаются задачи на пропорциональное деление I вида с другими группами величин, пос­ле чего вводятся задачи II вида, а несколько позднее III и IV видов. При этом наряду с решением готовых задач следует включать упражнения на составление и преобразование задач.

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям. Эти задачи включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствую­щих значений другой переменной, а сами значения этой переменной яв­ляются искомыми. Можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Однако в начальных классах рассмат­риваются только два вида задач (см таблицу).

Величины
№	Цена	Количество	Стоимость	Задачи
1.	Постоянная	Даны два значения	Дана разность значений, соответствующих стоимости. Найти каждое значение	В одном куске 3 м ткани, а в другом – 7 м такой же ткани. Второй кусок стоит на 240 рублей больше первого. Сколько стоит каждый кусок ткани?
2.	Постоянная	Дана разность значений, соответствующих стоимости. Найти каждое значение	Даны два значений	Для санатория купили два ящика печенья. Один ящик стоил 300 рублей, другой – 180 рублей. В одном ящике было на 6 кг печенья меньше, чем в другом. Сколько печенья было в каждом ящике?

Сначала рассматриваются задачи I вида, а затем II вида. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

В качестве подготовительных упражнении к введению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями.

Пример.

1) Таня купила 6 одинаковых тетрадей, а Маша 4 таких же тетради. Кто из них больше заплатил денег? Почему? За сколько тетрадей Маша зап­латила столько же денег, сколько уплатила Таня?

2) Таня и Маша купили тетради по одинаковой цене. Таня купила на 2 тет­ради больше, чем Маша, и заплатила на 4 рубля больше, чем Таня. Сколь­ко стоила 1 тетрадь?

Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать ученикам, что Таня купила столько же тетрадей, сколько Маша, и еще 2 тетради и зап­латила денег столько же, сколько Маша, и еще 4 рубля. Отсюда можно сделать вывод, что 2 тетради стоят 4 рубля, значит, можно узнать, сколь­ко стоит 1 тетрадь.

Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин.

Методика работы по ознакомлению с задачами на нахождение неиз­вестных по двум разностям аналогична методике введения задач на про­порциональное деление: сначала можно предлагать задачи не в готовом виде, а составлять их из задач на нахождение четвертого пропорциональ­ного, затем включать готовые задачи, а можно начать с готовых задач.

Пример. Детям предлагается составить задачу по ее краткой записи:

Цена	Количество	Стоимость
I. Одинаковая	7 м	180р.
II. Одинаковая	З м	?

После ее решения в краткую запись подставляется число, получен­ное в ответе, - 420 рублей. Учитель предлагает найти разность чисел, показывающих стоимость (240 рублей). Выясняется, что показывает это число. Учитель выполняет на доске новую краткую запись:

Цена	Количество	Стоимость
I. Одинаковая	З м
II. Одинаковая	7 м	? на 240 р. больше

Дети составляют по кратной записи такую задачу: "В первом куске 3 м ткани, в другом 7 м такой же ткани. Второй кусок стоит на 240 рублей больше первого. Сколько стоит каждый кусок ткани?"

При решении задач этого вида целесообразно использовать и схему.

Зм

!----------!

?

240 р.

!----------!----------------!

7 м

?

Выясняется, почему второй кусок стоит больше, чем первый, за сколь­ко метров ткани второго куска заплатили столько же денег, столькозапервый, за какую ткань заплатили 240 рублей.

Решение задач этого вида записываются только по действиям. Причем следует учить детей давать пояснения к действиям (особенно к первому так, чтобы легко просматривался следующий шаг в решении задачи).

1) 7 – 3 = 4 (м) – стоят 240 рублей.

2) 240 : 4 = 60 (р.) – цена 1 м ткани.

3) 60 · 7 = 420 (р.) – стоят 7 метра ткани.

4) 60 · 3 = 180 (р.) – стоят 3 м ткани.

Проверка решения выполняется способом установления соответствия между числами, полученными в ответе, и данными в условии задачи: узнаем, действительно ли второй кусок ткани стоит на 240 рублей больше, чем первый: 420 – 180 = 240; значит, можно считать, что задача решена правильно.

Для закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям 1 вида с различными группами пропорциональных величин. Аналогично вводятся задачи на нахождение неизвестных по двум разностям II вида. Целесообразно предлагать упражнения на преобразование задач. Например, можно по задаче на нахождение четвертого пропорционального составить две задачи на нахождение неизвестных по двум разностям, решить их и сравнить решения; можно составить по задаче на нахождение четвертого пропорционального задачу на пропорциональное движение и задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, решить их и сравнить решения. Такие упражнения помогают детям увидеть сходство в способах решения.