Числовая прямая, числовые промежутки
Прямую линию с выбранными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.
Каждому числу можно поставить в соответствие единственную точку на координатной прямой.
Для числовых промежутков вводят обозначения:
· [a; b] или a≤ х ≤ b – замкнутый промежуток (или отрезок) с началом a и концом b;
· (a; b) или a< х <b - открытый промежуток (интервал);
· (a; b] или a< х ≤ b; [a; b) или a≤ х < b – полуоткрытые промежутки (полуинтервалы);
· [a; + ∞) или х ≥ a; (- ∞; b] или х ≤ b – лучи;
· (a; + ∞) или х >a; (- ∞; b) или х < b – открытые лучи;
· (- ∞; + ∞) = R – координатная прямая.
Модуль числа
Модулем (абсолютной величиной) действительного числа a называется само это число, если a≥ 0, и противоположное число –a, если a< 0. Модуль a обозначается |a|. Итак,
Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчёта.
Если a≠0, то на координатной прямой существуют две точки a и –a, равноудалённые от нуля, модули которых равны:
Свойства.
Степень с натуральным показателем. Понятие. Свойства
Степенью числа a с показателем n, где n N, а R, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a: .
Число a называется основанием степени, n – показателем степени.
Свойства:
· при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним
· при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним
· при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним
· степень произведения равна произведению степеней множителей
· степень частного равна частному степеней делимого и делителя:
·
·
· если 0 ≤ а < b, то
· если а > 1, то , при m > n.
· если 0 < а < 1, то при m > n.
· если а < 0, то при четном n и при нечетном n.
Утверждения:
· чётная степень отрицательного числа есть число положительное;
· нечётная степень отрицательного числа есть число отрицательное;
· любая степень положительного числа есть число положительное;
· при возведении нуля в любую натуральную степень получается нуль;
· при возведении 1 в любую натуральную степень получается единица.
Степень с целым и дробным (рациональным) показателем.
1. Рассмотрим степень ар, где р Z.
Если р=0,то при
Если р<0, то при
2. Рассмотрим степень , где - рациональное число. Выражение имеет в общем виде смысл только при а>0. Если а>0, р Z, q N, то .
3. Степень с целым и рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с натуральным показателем:
;
;
;
;
.