Теорема Самарского о сходимости стационарных методов

Теорема. Пусть Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru , Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru и Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru , тогда итерационный процесс

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru (3.15)

сходится при любом выборе начального приближения Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Метод Якоби

Представим матрицу A в виде суммы трех матриц Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru , где

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru - нижняя треугольная матрица с 0 на главной диагонали.

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru - верхняя треугольная матрица с 0 на главной диагонали.

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Для метода Якоби имеем Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru и Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru :

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru . (3.16)

Запишем метод в координатной форме:

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru для всех Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru для всех Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Предполагается, что Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru для всех Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Алгоритм метода Якоби

· Задание исходных матрицы A и вектора правой части f.

· Проверка выполнения условия Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru для всех Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

· Задание начального приближения Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Строго говоря, задавать любое начальное приближение для любого итерационного метода нельзя. При формулировке любого итерационного метода обычно оговариваются условия выбора Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru . Если этих условий нет, то часто берут Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru или Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru . От выбора Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru зависит скорость сходимости метода, поэтому иногда прибегают к подбору.

· Выполнение следующей итерации Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru . Вычисление очередного приближения Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

· Проверка условия сходимости. Обычно используют критерий Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru , где Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru - норма.

· В случае выполнения условия - печать решения и невязки, количества выполненных итераций.

Возможные ошибки

· Плохое начальное приближение.

· Ошибки при организации суммирования.

· Замена в формулах известного приближения Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru на искомое Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

· Ошибка с индексами переменных.

· Неправильно переписанная формула метода.

· Ошибка в критерии условия сходимости.

Теорема сходимости метода Якоби

Теорема. Пусть Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru с диагональным преобладанием, тогда метод Якоби сходится для любого начального приближения.

Рекомендации

· Если задача не подходит под условие теоремы, то это еще не значит, что метод нельзя использовать.

· При составлении программы рекомендуется придумать новую вспомогательную задачу с матрицей Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru с диагональным преобладанием, решение для которой заранее известно. Отладив программу для вспомогательной задачи, приступайте к решению своей конкретной задачи.

· На практике проверить достаточные условия сходимости бывает довольно трудно или невозможно. Поэтому часто метод и его параметры подбирают эмпирически.

Метод Зейделя

Для метода Зейделя берут Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru и Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru :

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru . (3.17)

Запишем метод в координатной форме:

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru для всех Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Теорема сходимости метода Зейделя

Теорема. Пусть Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru , тогда метод Зейделя сходится для любого начального приближения.

Метод верхней релаксации

Положим Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru и Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru - параметр >0:

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru (3.18)

Запишем метод в координатной форме:

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru для Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Итак,

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru ,

и т.д.

Теорема сходимости метода верхней релаксации

Теорема. Пусть Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru и Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru , тогда метод верхней релаксации сходится для любого начального приближения.

Метод итерации

Решаем систему уравнений Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru . Предполагаем, что Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru для всех Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Разрешим первое уравнение системы относительно Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru , второе уравнение относительно Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru и т.д. В результате получим следующую систему уравнений:

Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru , (3.19)

где Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru , Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru при Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru и Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru при Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Следовательно, систему (3.19) можно записать в виде Теорема Самарского о сходимости стационарных методов - student2.ru .

Наши рекомендации