Нахождение производных функций, содержащих степени

Н.П. Зубарева

Математика

Методическое пособие по изучению темы

"Производная функции"

Калининград, 2015

Составитель: Н.П. Зубарева, канд. пед. наук, доцент.

Рецензент: Ю.Н. Антипов, доктор физмат. наук, профессор.

Методическое пособие предназначено студентам для изучения принципов дифференцирования функций. Подробно пояснено решение отдельных заданий. Для самостоятельного решения предложен ряд заданий, ответы на которые есть на с.20.

В пособии имеется справочный материал.

Печатается по решению

, протокол № от 20 г.

Содержание

1.Формулы дифференцирования. 4

2. Нахождение производных функций, содержащих степени. 6

3. Производная функций, содержащих логарифмы 11

4. Производная, содержащая тригонометрические функции 11.

5. Производная сложной функции 14

6. Производные высших порядков 16

7. Производная функции, заданной неявно. 17

8. Производная степенно-показательной функции

9. Производная функции, заданной параметрически

Ответы.. 20

Формулы дифференцирования

Производная постоянной величины равна нулю: C ' = 0.

Производная аргумента равна единице: x' = 1.

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций:

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй сомножитель плюс произведение первого сомножителя на производную второго сомножителя:

.

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

, С – постоянная.

Производная частного двух функций может быть найдена по формуле:

.

Таблица производных

№ п/п	Элементарные функции	№ п/п	Сложные функции
функция у	производная y'	функция у	производная y'
	с			y=f(u); u=φ(x)
	х
	xn	nxn–1		un	nun–1
	ex	ex		eu	eu ∙ u'
	ax	ax lna		аu	а u lna∙ u'
	lnx	1/x		lnu
	logax			logau
	sinx	cosx		sinu	cos u ∙ u'
	cosx	–sinx		cosu	–sinx u ∙ u'
	tgx			tgu
	ctgx			ctgu
	arcsinx			arcsinu
	arccosx			arccosu
	arctgx			arctgu
	arcctgx			arcctgu

Задание 1.Найти производную функции .

Решение:

Функция равна произведению постоянной величины 5 и переменной х². По формуле выносим постоянную величину перед производной, затем по формуле находим производную х².

Задание 2. Найти производную функции .

Решение:

Использовали формулы , ,

Найти самостоятельно производную функции:

1а)

1б)

Нахождение производных функций, содержащих степени.

Для вычисления производных полезно сначала преобразовать выражение.

Напомним некоторые формулы действий со степенями из школьного курса.

А. .

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

Б. .

В. .

Если основания степеней одинаковы, то при умножении показатели степеней складываются, а при делении – показатели степеней вычитаются.

Г.

Д.

Е.

Например:

.

.

.

.

.

Задание 3.Найти производную функции .

Решение: Сначала преобразуем по формуле

.

Производную этой функции найдем по формуле

.

Задание 4.Найти производную функции .

Решение: Сначала преобразуем это выражение по формулам ,

.

Производную этой функции найдем по формулам ,

.

Производную этого выражения можно найти по формуле , а потом преобразовать:

Задание 5.Найти производную функции .

Решение:

Сначала преобразовали выражение по формулам , Производную вычисляли по формулам , , , затем преобразовали полученное выражение по формулам ,

Найти самостоятельно производную функции:

2а)

2б)

Задание 6.Найти производную функции .

Решение:

Применили формулу . Далее производные находим по формулам , , , затем упрощаем полученное выражение, перемножая выражение в скобках.

Найти самостоятельно производную функции:

3а)

3б)

Задание 7. Найти производную функции .

Решение:

Использовали формулу , затем формулы , , .

Найти самостоятельно производную функции:

4а) .

4а) .

Задание 8. Найти производную функции .

Подставим это выражение в виде степени:

.

Производную найдем сначала по формуле .

Затем производную находим по формулам , , .

Найти самостоятельно производную функции:

5а) .

5б) .

Задание 9.Найти производную функции .

Решение:

Сначала формула , затем формулы , , .

Найти самостоятельно производную функции:

6а) .

6б) .

Задание 10.Найти производную функции .

Решение:

Сначала формула , затем решаем по формулам , , , .

.

Найти самостоятельно производную функции:

7а) .

7б) .