Горизонтальные асимптоты

Определение.

Если при ( ) функция имеет конечный предел, равный числу b:

,

то прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Например, для функции имеем

, .

Соответственно, прямая − горизонтальная асимптота для правой ветви графика функции , а прямая − для левой ветви.

В том случае, если

,

график функции не имеет горизонтальных асимптот, но может иметь наклонные.

Наклонные асимптоты

Определение.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если выполняется равенство

.

Наличие наклонной асимптоты устанавливают с помощью следующей теоремы.

Теорема.

Для того, чтобы график функции имел при ( ) наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

и .

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Замечания.

1. При отыскании асимптот следует отдельно рассматривать случаи и .

2. Если

и ,

то график функции имеет горизонтальную асимптоту .

3. Если

и ,

то прямая (ось Ох) является горизонтальной асимптотой графика функции .

Из замечаний следует, что горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при . Поэтому при отыскании асимптот графика функции рассматривают лишь два случая:

1) вертикальные асимптоты,

2) наклонные асимптоты.

Пример

Найти асимптоты графика функции .

.

1) − точка разрыва второго рода:

, .

Прямая − вертикальная асимптота.

2) ,

,

.

Прямая − горизонтальная асимптота. Наклонной асимптоты нет.

Общая схема исследования функции и построение графика

В предыдущих параграфах было показано, как с помощью производных двух первых порядков изучаются общие свойства функции. Пользуясь результатами этого изучения, можно составить представление о характере функции и, в частности, построить ее график.

Исследование функции целесообразно проводить по следующей схеме.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

5. Найти интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на которых или ).

6. Найти асимптоты графика функции.

7. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.

8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

9. Построить график функции.

Пример

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения функции .

2. Функция нечетная: . График функции симметричен относительно начала координат

3. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

С осью Оу: , точка .

С осью Ох: , , , .

5. Точки , и разбивают ось Ох на четыре интервала.

при ;

при ;

при ;

при .

6. Так как функция является непрерывной, то ее график не имеет вертикальных асимптот.

.

Наклонной и горизонтальной асимптот нет.

7. ,

, , − критические точки.

для «↑»,

для «↓»,

для «↑».

Сведем данные в таблицу.

х		-1
	+		−		+
	↑ (возрастает)	mах	↓ (убывает)	min -2	↑ (возрастает)

, ;

точка − максимум;

точка − минимум.

8. , , , .

при « »;

при « ».

х
	−		+
	(выпуклый)	(точка перегиба)	(вогнутый)

Точка − точка перегиба.

9. График функции (рис.5.12)

Рис. 5.12

Упражнения

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

1.	;	Ответ: − убывает; − возрастает.
2.	;	Ответ: − убывает; − возрастает.
3.	;	Ответ: − убывает; − возрастает.
4.	;	Ответ: − возрастает; − убывает.

Найти экстремумы функций:

5.	;	Ответ: нет экстремума.
6.	;	Ответ: минимум, максимум.
7.	;	Ответ: максимум, минимум.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанных отрезках:

8.	на ;	Ответ: наибольшее, наименьшее.
9.	на	Ответ: наименьшее, наибольшее.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графиков функций:

10.		Ответ: − выпуклость, − вогнутость, − точка перегиба.
11.		Ответ: − вогнутость, − выпуклость, − вогнутость, , − точки перегиба.

12.

Ответ: − выпуклость, − вогнутость, − выпуклость, , − точки перегиба.

Найти асимптоты кривых:

13.		Ответ: вертикальная; горизонтальная.
14.		Ответ: вертикальная; наклонная.
15.		Ответ: горизонтальная.

Исследовать функции и построить их графики:

16.
17.
18.