Кинематическое исследование многозвенного плоского механизма.

Исходные данные: , а = 49 см, b = 19 см, с = 57 мм, О₁А = 15 см,

АВ = 40 см, О₂В = 35 см, О₂С = 30 см, ВС = 20 см, СD = 60 см, О₃D = 50 см, СЕ = 30 см, ЕF=30 см. Кривошип О₁А вращается с постоянной угловой скоростью ω_О1=3с^-1.

Для данного положения механизма определить скорости всех точек механизма, угловые скорости звеньев методами полюса и мгновенного центра скоростей (МЦС), а также ускорения точек А, В, М (точка М делит звено АВ пополам) методами полюса и мгновенного центра ускорений (МЦУ) и угловое ускорение звена АВ.

Решение.

1. Изобразим механизм в заданном положении, согласно геометрическим размерам приведенным в исходных данных, тогда схема механизма изобразится в соответствующем масштабе (рис.30).

Рис.30.

2. Определим скорости точек механизма, и угловые скорости звеньев методом полюса с помощью построения плана скоростей.

2.1. Определим скорость точки А.

Точка А принадлежит звену АО₁, которое совершает вращательное движение относительно неподвижной точки О₁, тогда скорость точки будет равна

см/с.

Вектор скорости точки А ( ) будет направлен перпендикулярно радиусу вращения АО₁ в сторону вращения угловой скорости ω_О1 (рис.31).

Примем вектор Ра, который будет изображать вектор скорости точки А ( ) на плане скоростей, равным 120 мм (Ра = 120 мм).

Тогда масштаб плана скоростей составит

см/(с∙мм).

Рис.31.

Рис.32. План скоростей, масштаб см/(с∙мм).

Изобразим вектор Ра, изображающего вектор скорости точки А ( ), на плане скоростей равным 120 мм, путем параллельного переноса в точку Р вектора (рис.32).

2.2. Определим скорость точки В.

Для нахождения скорости точки В требуется рассмотреть движение этой точки относительно двух полюсов, скорости которых известны.

Рассмотрим движение точки В относительно полюса точки А (так как скорость точки А определена). Составим векторное уравнение

.

Согласно данному уравнению вектор скорости точки В ( )изобразится вектором Pb на плане скоростей; вектор скорости точки А ( ) изображается вектором Pа на плане скоростей; вектор скорости изобразится вектором аb на плане скоростей.

Под действием вектора скорости , приложенного в точке В, звено АВ будет приходить во вращение относительно уже неподвижного полюса точки А, с угловой скоростью . Так как вектор скорости направлен перпендикулярно звену АВ ( ÖАВ), то данную линию проводим из точки а на плане скоростей (см. рис.32).

Составим второе векторное уравнение за полюс возьмем точку О₂, так как относительно этой точки звено ВСО₂ вращается (рис.31), то точка О₂ является неподвижной, поскольку закреплена в шарнирно неподвижной опоре, скорость точки О₂ ( ) равна нулю.

.

Так как , следовательно, вектор, изображающий на плане скоростей , будет находиться в точке Р (РР=0).

Под действием вектора скорости , приложенного в точке В, звено ВСО₂ будет приходить во вращение относительно неподвижного полюса точки О₂, с угловой скоростью . Так как вектор скорости направлен перпендикулярно звену ВО₂ ( ÖВО₂), то данную линию проводим из точки Р на плане скоростей (рис.32).

В пересечении двух линий (ÖВО₂) и (ÖАВ) на плане скоростей определяем точку b.

Для нахождения скорости точки В по модулю ( ) необходимо замерить отрезок Pb на плане скоростей и умножить на масштаб плана скоростей (Pb составит 33,3 мм)

см/с.

Для изображения вектора скорости точки В ( ) на схеме механизма требуется вектор Pb с плана скоростей (см. рис.32) параллельно перенести в точку В механизма (см. рис.31).

2.3. Определим угловую скорость звена АВ ( ).

Звено АВ приобретает угловую скорость , относительно неподвижной точки А под действием скорости точки В, относительно точки А ( ). Для определения модуля скорости необходимо на плане скоростей (см. рис.32) измерить отрезок ab и умножить на масштаб плана скоростей (аb составит 126,9 мм).

см/с.

Для изображения вектора скорости из точки В на схеме механизма требуется вектор аb с плана скоростей (см. рис.32) параллельно перенести в точку В механизма (см. рис.31).

Тогда угловая скорость звена АВ относительно центра вращения точки А, под действием вектора скорости направлена по часовой стрелке на схеме механизма (рис.31). Определим численное значение угловой скорости

с^-1.

2.4. Определим угловую скорость звена ВСО₂ ( ).

Звено ВСО₂ приобретает угловую скорость относительно неподвижной точки О₂, под действием скорости точки В, относительно точки О₂ ( ). Вектор скорости равен вектору , см. п.2.2.

Тогда угловая скорость звена ВСО₂ относительно центра вращения точки О₂ под действием вектора скорости направлена против часовой стрелки на схеме механизма (см. рис.31). Определим численное значение угловой скорости

с^-1.

2.5. Определим скорость точки С.

Для нахождения скорости точки С, рассмотрим движение этой точки относительно двух полюсов (точки В, О₂), скорости которых известны.

Рассмотрим движение точки С относительно полюса точки В. Составим векторное уравнение

.

Согласно данному уравнению вектор скорости точки С ( )изобразится вектором Pс на плане скоростей; вектор скорости точки В ( ) изобразится вектором Pb на плане скоростей; вектор скорости изобразится вектором bс на плане скоростей.

Под действием вектора скорости , приложенного в точке С, звено ВС будет приходить во вращение относительно уже неподвижного полюса точки В. Так как вектор скорости направлен перпендикулярно звену ВС ( ÖСВ), то данную линию проводим из точки b на плане скоростей (см. рис.32).

Составим второе векторное уравнение за полюс возьмем точку О₂.

.

где , вектор изображающий на плане скоростей будет находиться в точке Р (РР = 0).

Так как вектор скорости направлен перпендикулярно звену СО₂ ( ÖСО₂), то данную линию проводим из точки Р на плане скоростей (см. рис.32).

В пересечении двух линий (ÖСО₂) и (ÖВС) на плане скоростей определяем точку с.

Для нахождения скорости точки С по модулю ( ), необходимо замерить отрезок Pс на плане скоростей и умножить на масштаб плана скоростей (Pс составит 28,5 мм).

см/с.

Для изображения вектора скорости точки С ( ) на схеме механизма требуется вектор Pс с плана скоростей (см. рис.32) параллельно перенести в точку С механизма (см. рис.31).

Угловая скорость звена ВСО₂ определена с^-1

2.6. Определим скорость точки D.

Для нахождения скорости точки D, требуется рассмотреть движение этой точки относительно двух полюсов, скорости которых известны.

Рассмотрим движение точки D относительно полюса точки C (так как скорость точки C определена). Составим векторное уравнение

.

Согласно данному уравнению вектор скорости точки D ( )изобразится вектором Pd на плане скоростей; вектор скорости точки C ( ) изобразится вектором Pc на плане скоростей; вектор скорости изобразится вектором сd на плане скоростей.

Под действием вектора скорости , приложенного в точке D, звено CD будет приходить во вращение относительно уже неподвижного полюса точки С, с угловой скоростью . Так как вектор скорости направлен перпендикулярно звену CD ( ÖCD), то данную линию проводим из точки с на плане скоростей (см. рис.32).

Составим второе векторное уравнение, за полюс возьмем точку О₃, так как относительно этой точки звено DО₃ вращается (рис.31), то точка О₃ является неподвижной, поскольку закреплена в шарнирно неподвижной опоре, скорость точки О₃ ( ) равна нулю.

.

Так как , следовательно, вектор изображающий на плане скоростей , будет находиться в точке Р (РР = 0).

Под действием вектора скорости , приложенного в точке D, звено DО₃ будет приходить во вращение относительно неподвижного полюса точки О₃, с угловой скоростью . Так как вектор скорости направлен перпендикулярно звену DО₃ ( ÖDО₃), то данную линию проводим из точки Р на плане скоростей (рис.32).

В пересечении двух линий (ÖDО₃) и (ÖCD) на плане скоростей определяем точку d.

Для нахождения скорости точки D по модулю ( ), необходимо замерить отрезок Pd на плане скоростей и умножить на масштаб плана скоростей (Pd составит 18 мм).

см/с.

Для изображения вектора скорости точки D ( ) на схеме механизма, требуется вектор Pd с плана скоростей (см. рис.32) параллельно перенести в точку D механизма (см. рис.31).

2.7. Определим угловую скорость звена DC ( ).

Звено DC приобретает угловую скорость , относительно неподвижной точки C; под действием скорости точки D – относительно точки C ( ). Для определения модуля скорости необходимо на плане скоростей (см. рис.32) измерить отрезок cd и умножить на масштаб плана скоростей (cd составит 21,6 мм).

см/с

Для изображения вектора скорости из точки D на схеме механизма требуется вектор cd с плана скоростей (см. рис.32) параллельно перенести в точку D механизма (см. рис.31).

Тогда угловая скорость звена DC относительно центра вращения точки C, под действием вектора скорости направлена против часовой стрелки на схеме механизма (см. рис.31). Определим численное значение угловой скорости

с^-1.

2.8. Определим угловую скорость звена DО₃ ( ).

Звено DО₃ приобретает угловую скорость относительно неподвижной точки О₃; под действием скорости точки D – относительно точки О₃ ( ). Вектор скорости равен вектору , см. п.2.6.

Тогда угловая скорость звена DО₃ относительно центра вращения точки О₃, под действием вектора скорости направлена по часовой стрелки на схеме механизма (рис.31). Определим численное значение угловой скорости

с^-1.

2.9. Определим скорость точки E.

Так как точка Е принадлежит звену СD, у которого определены кинематические характеристики (скорости точек С, D), то положение точки е в плане скоростей определим методом обхода точек. Составим соотношение

мм.

Изобразим отрезок ce на плане скоростей (см. рис.31) из точки с в направлении точки d. Тогда вектор скорости точки Е ( ) изобразится на плане скоростей вектором Ре, численное значение скорости составит

см/с.

Для изображения вектора скорости точки Е ( ) на схеме механизма, требуется вектор Pе с плана скоростей (см. рис.32) параллельно перенести в точку Е механизма (см. рис.31).

2.10. Определим скорость точки F.

Для нахождения скорости точки F, требуется рассмотреть движение этой точки относительно двух полюсов, скорости которых известны.

Рассмотрим движение точки F относительно полюса точки E (так как скорость точки E определена). Составим векторное уравнение

.

Согласно данному уравнению вектор скорости точки F ( )изобразится вектором Pf на плане скоростей; вектор скорости точки E ( ) изобразится вектором Pe на плане скоростей; вектор скорости изобразится вектором ef на плане скоростей.

Под действием вектора скорости приложенного в точке F звено FE будет приходить во вращение относительно уже неподвижного полюса точки E с угловой скоростью . Так как вектор скорости направлен перпендикулярно звену FE ( ÖFE), то данную линию проводим из точки e на плане скоростей (см. рис.32).

Составим второе векторное уравнение, за полюс возьмем ось у - у, так как относительно этой оси точка F движется прямолинейно вдоль оси у - у (совершает возвратно-поступательное движение). Поскольку система отсчета ось у-у неподвижна (см. рис.31), то скорость оси у-у ( ) равна нулю

.

Так как , следовательно, вектор изображающий на плане скоростей , будет находиться в точке Р (РР=0).

Вектор скорости направлен вдоль оси у-у ( //у-у), данную линию проводим из точки Р на плане скоростей (см. рис.32).

В пересечении двух линий (ÖFE) и (//у-у) на плане скоростей определяем точку f.

Для нахождения скорости точки F по модулю ( ), необходимо замерить отрезок Pf на плане скоростей и умножить на масштаб плана скоростей (Pf составит 20,6 мм).

см/с.

Для изображения вектора скорости точки F ( ) на схеме механизма, требуется вектор Pf с плана скоростей (рис.32) параллельно перенести в точку F механизма (рис.31).

2.11. Определим угловую скорость звена FE ( ).

Поскольку звено FE приобретает угловую скорость относительно неподвижной точки Е; под действием скорости точки F – относительно точки E ( ), для определения модуля скорости необходимо на плане скоростей (рис.32) измерить отрезок ef и умножить на масштаб плана скоростей (ef составит 31,7мм).

см/с.

Для изображения вектора скорости из точки F на схеме механизма, требуется вектор ef с плана скоростей (см. рис.32) параллельно перенести в точку F механизма (см. рис.31).

Тогда угловая скорость звена FE относительно центра вращения точки E, под действием вектора скорости направлена по часовой стрелке на схеме механизма (рис.31). Определим численное значение угловой скорости

с^-1.

3. Определим скорости точек механизма, и угловые скорости звеньев методом мгновенного центра скоростей (МЦС).

Исходная схема изображена на рис.30.

3.1.Определим скорость точки А.

Точка А принадлежит звену АО₁, которое совершает вращательное движение относительно неподвижной точки О₁, тогда МЦС звена АО₁ находится в точке О₁.

Скорость точки будет равна

см/с.

Вектор скорости точки А ( ) будет направлен перпендикулярно радиусу вращения АО₁ в сторону вращения угловой скорости ω_О1 (рис.33).

3.2. Определим скорость точки В и угловую скорость звена АВ.

Для нахождения скорости точки В, требуется определить положение МЦС звена АВ точки Р_АВ. МЦС звена АВ находится в пересечении перпендикуляров к векторам скоростей точек А и В. Из точки А к вектору проводим перпендикуляр (рис.33); точка В вращается относительно неподвижной точки О₂, тогда вектор скорости направлен из точки В перпендикулярно радиусу вращения ВО₂, следовательно, перпендикуляр к скорости проходит вдоль звена ВО₂ (см. рис.33). В пересечении этих двух линий находится МЦС звена АВ, точка Р_АВ. Относительно точки Р_АВ звено АВ, под действием вектора скорости , вращается с угловой скоростью по часовой стрелке. Численное значение угловой скорости звена АВ составит

.

Рис.33.

где АР_АВ – радиус вращения точки А, относительно МЦС звена АВ (рис.33).

Данный отрезок требуется замерить и привести к размерностям исходных данных (АР_АВ составит 37,8 см)

с^-1.

Поскольку точка В вращается на звене АВ относительно МЦС, то скорость точки В составит (BР_АВ равен 10,3 см)

см/с.

Вектор скорости точки В ( ) направлен из точки В перпендикулярно радиусу вращения ВР_АВ в сторону вращения угловой скорости (см. рис.33).

3.3.Определим угловую скорость звена ВСО₂ ( ).

Поскольку звено ВСО₂ совершает вращательное движение относительно неподвижной точки О₂, то в точке О₂ располагается МЦС звена ВСО₂. Под действием скорости точки В ( ) относительно точки О₂, звено ВСО₂ приобретает угловую скорость , направленную против часовой стрелки (рис.33).

Определим численное значение угловой скорости

с^-1.

3.4.Определим скорость точки С.

Так как точка С принадлежит звену ВСО₂, которое вращается относительно МЦС точки О₂, вектор скорости точки С ( ) направлен перпендикулярно радиусу вращения СО₂ в сторону угловой скорости (см. рис.33). Численное значение скорости точки С составит

см/с.

3.5. Определим скорость точки D и угловую скорость звена CD.

Для нахождения скорости точки D требуется определить положение МЦС звена CD точки Р_CD. МЦС звена CD находится в пересечении перпендикуляров к векторам скоростей точек C и D. Из точки C к вектору проводим перпендикуляр (см. рис.33); точка D вращается относительно неподвижной точки О₃, тогда вектор скорости направлен из точки D перпендикулярно радиусу вращения DО₃, следовательно, перпендикуляр к скорости проходит вдоль звена DО₃ (см. рис.33). На пересечении этих двух линий находится МЦС звена CD, точка Р_CD. Относительно точки Р_CD звено CD под действием вектора скорости вращается с угловой скоростью против часовой стрелки. Численное значение угловой скорости звена CD составит

,

где СР_СD – радиус вращения точки C, относительно МЦС звена CD (см. рис.33).

Данный отрезок требуется замерить и привести к размерностям исходных данных (СР_СD составит 79,8 см)

с^-1.

Поскольку точка D вращается на звене CD относительно МЦС, то скорость точки D составит

см/с,

где DР_CD равен 49,9 см.

Вектор скорости точки D ( ) направлен из точки D перпендикулярно радиусу вращения DР_СD в сторону вращения угловой скорости (см. рис.33).

3.6.Определим угловую скорость звена DО₃ ( ).

Поскольку звено DО₃ совершает вращательное движение относительно неподвижной точки О₃, то точка О₃ является МЦС звена DО₃. Под действием скорости точки D ( ) звено DО₃ приобретает угловую скорость относительно МЦС точки О₃ в направлении движения часовой стрелки. Определим численное значение угловой скорости

с^-1.

3.7.Определим скорость точки Е.

Так как точка Е принадлежит звену CD, которое вращается относительно МЦС точки Р_СD, то вектор скорости точки Е ( ) направлен перпендикулярно радиусу вращения ЕР_СD в сторону угловой скорости (см. рис.33). Численное значение скорости точки Е составит (EР_CD равен 60 см)

см/с.

3.8. Определим скорость точки F и угловую скорость звена EF.

Для нахождения скорости точки F требуется определить положение МЦС звена EF точки Р_EF. МЦС звена EF находится на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей точек Е и F. Из точки E к вектору проводим перпендикуляр (см. рис.33); точка F движется прямолинейно вдоль оси у-у (совершает возвратно-поступательное движение). Вектор скорости направлен вдоль оси у-у ( //у-у), восстанавливаем перпендикуляр к оси у-у из точки F.

В пересечении этих двух линий находится МЦС звена EF – точка Р_EF. Относительно точки Р_EF звено EF, под действием вектора скорости , вращается с угловой скоростью по часовой стрелке. Численное значение угловой скорости звена EF составит

,

где ЕР_ЕF – радиус вращения точки E относительно МЦС звена EF (рис.33), данный отрезок требуется замерить и привести к размерностям исходных данных (ЕР_ЕF составит 20,3см)

с^-1.

Поскольку точка F вращается на звене EF относительно МЦС, то скорость точки F составит (FР_EF равен 19,6см)

см/с.

Вектор скорости точки F ( ) направлен из точки F перпендикулярно радиусу вращения FР_EF в сторону вращения угловой скорости (см. рис.33).

4. Проверка допустимости приведенных расчетов скоростей многозвенного механизма методами плана и МЦС.

Таблица 3.

Сравниваемая величина	По методу плана	По методу МЦС	Процент расхождения,
VA			0%
VB	12,5	12,4	0,8%
VC	10,7	10,5	1,9%
VD	6,75	6,6	2,2%
VE		7,9	1,3%
VF	7,73	7,65	1%
ωAB	1,2	1,2	0%
ωCD	0,135	0,132	2,2%
ωEF	0,4	0,39	2,5%
ωO2	0,36	0,35	2,8%
ωO3	0,135	0,132	2,2%

Если расхождение сравниваемых величин не превышает 5%, то приведенное решение считается верным.

5. Определим ускорения точек А, В, М.

5.1. Методом полюса с помощью построения плана ускорений.

5.1.1. Определим ускорение точки А ( ).

Точка А вращается относительно неподвижной точки О₁ с постоянной угловой скоростью ω_О1 = 3с^-1.

, (81)

где – нормальное (центростремительное) ускорение точки А на звене АО₁;

– касательное ускорение точки А на звене АО₁.

Нормальное ускорение составит

см /с².

Вектор направлен из точки А к центру вращения точке О₁ на схеме механизма (рис.34).

Касательное ускорение составит

.

Так как угловая скорость вращения постоянна, то , то .

Тогда, согласно уравнению (81)

.

Изобразим вектор ускорения точки А на плане ускорений (рис. 35). Пусть вектор изображается на плане ускорений вектором ; примем мм. Масштаб плана ускорений составит

см/(мм∙с²).

Рис. 34.

5.1.2. Определим ускорение точки В ( ) и угловое ускорение звена АВ ( ).

Рассмотрим движение точки В относительно полюса точки А, составим первое векторное уравнение

,

где – нормальное ускорение точки В во вращательном движении относительно неподвижного полюса точки А; на плане ускорений вектор изобразится вектором al;

– касательное (вращательное) ускорение точки В во вращательном движении относительно неподвижного полюса точки А; на плане ускорений вектор изобразится вектором lb;

Рис. 35. План ускорений.

– вектор ускорения точки В; на плане ускорений вектор изобразится вектором .

Численное значение нормального ускорения составит

см /с².

Вектор нормального ускорения точки В относительно полюса точки А ( ) направлен из точки В к точке А на схеме механизма (рис. 34). На плане ускорений (рис. 35) вектор изобразится из точки а, длина al составит

al= мм.

Вектор ускорения направлен из точки В перпендикулярно звену АВ на схеме механизма ( ÖВА) (см. рис. 34). На плане ускорений (см. рис. 35) из точки l изображаем линию, вдоль которой направлен вектор ускорения .

Рассмотрим движение точки В относительно полюса точки О₂, составим второе векторное уравнение ускорений

,

где – ускорение точки О₂; точка О₂ является неподвижной, поскольку закреплена в шарнирнонеподвижной опоре, ускорение точки О₂ ( ) равна нулю, следовательно, изобразится на плане ускорений

вектором ( = 0).

– нормальное ускорение точки В во вращательном движении относительно неподвижного полюса точки О₂; на плане ускорений вектор изобразится вектором ;

– касательное (вращательное) ускорение точки В во вращательном движении относительно неподвижного полюса точки О₂; на плане ускорений вектор изобразится вектором .

Численное значение нормального ускорения составит

см /с².

Вектор нормального ускорения точки В относительно полюса точки О₂ ( ) направлен из точки В к точки О₂ на схеме механизма (см. рис. 34). На плане ускорений (см. рис. 35) вектор изобразится из точки , длина составит

= мм.

Вектор ускорения направлен из точки В перпендикулярно звену ВО₂ на схеме механизма ( ÖВО₂) (см. рис.34). На плане ускорений (см. рис. 35) из точки k изображаем линию, вдоль которой направлен вектор ускорения .

В пересечении двух линий ( ÖВО₂) и ( ÖВА) определяем точку b (см. рис. 35).

Численное значение вектора ускорения точки В составит ( составит 32,4 мм)

см/с².

Для изображения вектора ускорения точки В ( ) на схеме механизма, требуется вектор с плана ускорений (см. рис.35) параллельно перенести в точку В механизма (см. рис.34).

Поскольку звено АВ приобретает угловое ускорение относительно неподвижной точки А под действием касательного ускорения точки В относительно точки А ( ), то для определения модуля ускорения необходимо на плане ускорений (см. рис.35) измерить отрезок lb и умножить на масштаб плана ускорений (lb составит 7,25 мм).

см/с².

Для изображения вектора ускорения из точки В на схеме механизма требуется вектор lb с плана ускорений (см. рис.35) параллельно перенести в точку В механизма (см. рис.34).

Тогда угловое ускорение звена АВ относительно центра вращения точки А под действием вектора ускорения направлено против часовой стрелки на схеме механизма (см. рис.34). Определим численное значение углового ускорения

с^-2.

5.1.3. Определим ускорение точки М ( ).

Поскольку точка М принадлежит звену АВ (при этом известно ускорение точек А и В), то ускорение точки М можно определить методом обхода точек на плане ускорений. Точка М делит звено АВ пополам, следовательно, на плане ускорений точка m рассекает отрезок аb по середине (рис.35). На плане ускорений вектор точки изобразится вектором . Численное значение ускорения точки М составит ( равен 46,2 мм)

см/с².

Для изображения вектора ускорения из точки М на схеме механизма требуется вектор с плана ускорений (см. рис.35) параллельно перенести в точку М механизма (см. рис.34).

5.2. Методом мгновенного центра ускорений (МЦУ)

5.2.1.Определим положение МЦУ звена АВ.

Ускорение точки А ( ) определяется по пункту 5.1.1, изобразим на схеме (рис. 36). Укажем угловую скорость и угловое ускорение звена АВ, и , соответственно, относительно полюса точки А.