А) плоскости общего положения заданы следами, которые пересекаются в пределах эпюра.

МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ»

Кафедра компьютерной графики дизайна

ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

Раздел НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Методические указания

по решению задач (с текстовыми условиями задач)

для студентов 1 курса специальностей:

210312 «Аудиовизуальная техника»,210300 «Радиотехника»,

210102 «Светотехника и источники света»

CАНКТ-ПЕТЕРБУРГ

Г.М.Бирюк

Методические указания по решению задач (с текстовыми условиями задач), раздел «Начертательная геометрия» дисциплины «Инженерная графика».

Методические указания предназначены для студентов 1 курса специальностей: 210312 «Аудиовизуальная техника»,

210300 «Радиотехника», 210102 «Светотехника и источники света».

Рецензент:

Рекомендовано к изданию в качестве методических указаний кафедрой компьютерной графики и дизайна.

Протокол № 2 от 16 сентября 2010г.

Предлагаемые методические указания прилагаются к задачнику с вариантами девяти задач, приведенных в методической разработке «Методические указания с условиями задач» по разделу «Начертательная геометрия» дисциплины «Инженерная и компьютерная графика» для студентов 1 курса специальностей 200700 «Аудиовизуальная техника», 210300 «Радиотехника», 210102 «Светотехника и источники света».

Данные методические указания содержат перечень обозначений и словарь основных терминов, принятых в разделе «Начертательная геометрия» и упомянутых в данных методических указаниях. А также даны текстовые условия задач, планы их решения, пояснения к ним и примеры оформления и графического решения.

Методические указания могут быть использованы как при изучении материалов лекций по разделу Начертательная геометрия, так и при решении домашних задач.

Введение

В соответствии с новой редакцией Государственного образовательного стандарта (ГОС-2) по специальностям 210312 «Аудиовизуальная техника», 210300 «Радиотехника», 210102 «Светотехника и источники света» в рамках дисциплины «Инженерная и компьютерная графика» для студентов 1 курса предусмотрено изучение основных положений начертательной геометрии – теоретической базы как инженерной, так и компьютерной графики.

Способом закрепления теоретического материала курса является умение решать разнообразные графические задачи, позволяющие определять положение геометрических объектов в пространстве, их размеры и взаимное расположение. Результатом приобретенных знаний и навыков является развитые пространственное мышление и представление, позволяющие не только понимать, но и создавать изображения сложных объектов (деталей и узлов) как карандашом на бумаге, так и с помощью компьютерной графики.

Решение задач, предложенных в объёме дисциплины (18 часов лекций + 16 часов практических занятий) позволяет освоить основные темы начертательной геометрии:

- комплексный чертеж точки, прямой, плоскости;

- взаимное расположение точек, прямых, плоскостей, плоскости и поверхности;

- определение размеров, расстояний и углов, характеризующих геометрические фигуры и их взаимное положение;

- построение разверток поверхностей полных и усеченных.

Решение каждой задачи оформляется на листах ватмана, имеющих внутреннюю рамку, ограничивающую поле чертежа, и учебную основную надпись, представленную на рис.1. Чертеж является документом, поэтому подпись и дату в основной надписи ставят обязательно не карандашом, а ручкой. Первые восемь задач выполняются на формате А4 (297×210), последняя девятая задача - на формате А3 (420×297). Графическое условие задачи изображается в левом верхнем углу, краткое текстовое условие приводится правее графического условия. Размеры учебной основной надписи и правила её оформления представлены на рис.1. (за основу взята основная надпись - форма 2а

ГОСТ 2.104-68) . Все обозначения на эпюрах (буквы латинского и греческого алфавита, цифры) и необходимый текст выполняются шрифтом 7, 5 или 3,5 по ГОСТ 2.304-81 «Шрифты чертежные».

-

Рис.1. Учебная основная надпись

Обозначения на комплексном чертеже

Точки (прописные буквы латинского алфавита): А, В, С …

Точки, полученные при построении (арабские цифры): 1, 2, 3 …

Прямые и кривые линии (строчные буквы латинского алфавита): а, в, с…

Углы (строчные буквы греческого алфавита): α, β, γ …

Плоскости (прописные буквы греческого алфавита): Δ, Σ, Ψ …

Плоскости проекций:

- горизонтальная плоскость проекций – П₁,

- фронтальная плоскость проекций – П₂,

- профильная плоскость проекций – П₃.

Дополнительные плоскости проекций: П₄ , П₅ , П₆ …

Проекции точек и прямых: на П₁ – А₁ , с₁ , на П₂ – А₂ , с₂ , на П₃ – А₃ , с₃.

Следы прямой: горизонтальный след – М, фронтальный след – N, профильный след – Р.

Следы плоскости: горизонтальный след плоскости Δ – Δ₁; фронтальный след плоскости Δ - Δ₂; профильный след плоскости Δ – Δ₃.

Точки схода следов плоскости на осях: Δ_x, Δ_y, Δ_z.

Словарь терминов

Ортогональное (прямоугольное) проецирование – проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций.

Ось проекций – линия пересечения плоскостей проекций. По оси Х₁₂ пересекаются П₁ и П₂; по оси Y₁₃ пересекаются П₁ и П₃ ; по оси Z₂₃ пересекаются П₂ и П₃ .

Линия проекционной связи (линия связи)–линия перпендикулярная оси проекций, связывающая две проекции точки.

Конкурирующие точки– точки, у которых совпадают проекции на одну из плоскостей проекций.

Прямая общего положения – прямая не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Прямая уровня – прямая параллельная одной из плоскостей проекций.

Прямая проецирующая – прямая перпендикулярная одной из плоскостей проекций.

Следы прямой – точки пересечения прямой с плоскостями проекций.

Плоскость общего положения – плоскость не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Плоскость уровня – плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций.

Проецирующая плоскость – плоскость перпендикулярная одной из плоскостей проекций.

Многогранник – замкнутая гранная поверхность, имеющая не менее 4-х граней (пирамида, призма, тетраэдр и т.д.).

Поверхность вращения образуется вращением образующей вокруг оси вращения (цилиндр, конус, сфера и т.д.).

Очерк поверхности – проекция контура поверхности на плоскость проекций.

Аксонометрическая проекция – наглядная проекция предмета (наиболее часто применяются - прямоугольная изометрическая или косоугольная фронтальная диметрическая проекции).

Планы решения и пояснения к решению задач

Задача №1: По заданным координатам точек А, В, С построить их три проекции и аксонометрический чертеж. Определить пространственное положение точек.

План решения задачи:

1. Определить положение точки в пространстве;

2. Построить аксонометрический чертеж;

3. Построить комплексный чертеж.

Пример оформления и решения задачи представлен на рис.2.

Пояснения к решению задачи:

Пространство разделено тремя взаимно-перпендикулярными плоскостями проекций разделено на 8 пространственных углов (октантов).

Если все координаты точки отличны от нуля, то точка находится в одном из октантов, т.е. занимает «общее положение» в пространстве. Определить положение точки в пространстве можно по знаку координат и по значению координаты (координат), если она (они) равны нулю.

Если координата Х положительна, то точка находится в одном из «левых» октантов (1, 2, 3, 4), если координата Х отрицательна, то точка находится в одном из «правых» октантов (5, 6, 7, 8).

Если координата Y положительна, то точка находится в одном из «передних» октантов (1, 4, 5, 8), если координата Y отрицательна, то точка находится в одном из «задних» октантов (2, 3, 6, 7).

Если координата Z положительна, то точка находится в одном из «верхних» октантов (1, 2, 5, 6), если координата Z отрицательна, то точка находится в одном из «нижних» октантов (3, 4, 7, 8).

Если хотя бы одна из координат точки равна нулю, то точка занимает «частное положение» в пространстве. А именно:

1)если одна из координат точки равна нулю, то точка не удалена от какой-то плоскости проекций, а, следовательно, находится на ней.

Если координата Х равна нулю, то точка лежит на П₃.

Если координата Y равна нулю, то точка лежит на П₂.

Если координата Z равна нулю, то точка лежит на П₁.

2)если две координаты точки равны нулю, то точка принадлежит двум плоскостям проекций, т.е. лежит на оси проекций.

Если координаты X и Y равны нулю, то точка находится на оси Z₂₃.

Если координаты X и Z равны нулю, то точка находится на оси Y₁₃.

Рис.2. Пример оформления и решения задачи №1

Если координаты Y и Z равны нулю, то точка находится на оси X₁₂.

3)если все координаты точки равны нулю, то такая точка одна – начало координат.

После определения пространственного положения точек приступают к построению аксонометрических проекций по заданным координатам.

При построении прямоугольной изометрической проекции коэффициенты искажения размеров на всех осях одинаковы, и принято их считать единицей, поэтому размеры откладывают на осях в натуральную величину (или в выбранном масштабе).

Обратите внимание!При построении косоугольной фронтальной диметрической проекции необходимо учесть, что координаты откладываемые по оси Y₁₃ необходимо умножить на коэффициент искажения – 0,5.

Комплексные чертежи (эпюры) точек, строим исходя из того, что плоскости проекций П₁ и П₃ совмещаются с П₂. П₁ вращается вокруг оси Х₁₂ по часовой стрелке, а П₃ – вокруг оси Z₂₃ против часовой стрелке.

Задача №2:Построить профильную проекцию прямой, заданнойотрезком АВ и определить: следы прямой (М, N, Р) и их проекции; натуральную величину отрезка АВ методом прямоугольного треугольника и углы наклона прямой к плоскостям проекций П₁, П₂, П₃.

План решения задачи:

1. Построить профильную проекцию отрезка АВ;

2. Определить положение следов прямой, заданной отрезком АВ и их проекции;

3. Определить натуральную величину отрезка АВ и углы наклона прямой, заданной отрезком к плоскостям проекций П₁, П₂, П₃.

Пример оформления и решения задачи представлен на рис.3.

В данной задаче координаты точек А и В не заданы, поэтому профильную проекцию отрезка АВ найдем, построив профильные проекции точек А и В в пересечении недостающих линий связи, перпендикулярных к осям, разделяющим плоскости проекций:

- перпендикулярной к оси Y₁₂, связывающей горизонтальную и профильную проекции точек;

- перпендикулярной к оси Z₂₃, связывающей фронтальную и профильную проекции точек.

Рис.3. Пример оформления и решения задачи №2

Для нахождения горизонтального следа прямой М, т. е. точки, в которой прямая пересекает плоскость проекций П_1, найдем точку пересечения фронтальной проекции прямой (или её продолжения) с осью X₁₂ в точку пересечения восстановим перпендикуляр к оси X₁₂. В пересечении этого перпендикуляра с горизонтальной проекцией отрезка (или его продолжением) найдем горизонтальный след М, который совпадает с горизонтальной проекцией М₁. Фронтальная проекция горизонтального следа М₂ находится на оси X₁₂ (поскольку координата Z равна нулю).

Аналогично найдем фронтальный след прямой N – точку пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций П₂ и профильный след прямой Р – точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций П₃.

Натуральную величину отрезка (длину отрезка) определяем методом прямоугольного треугольника. Натуральная величина отрезка – гипотенуза прямоугольного треугольника, один из катетов которого – одна из проекций отрезка, другой катет – разность удалений концов другой проекции от этой плоскости проекций (т.е. разность координат концов другой проекции).

Угол наклона прямой к плоскости проекций находим в прямоугольном треугольнике, как угол между натуральной величиной отрезка прямой и его проекцией на этой плоскости проекций. α – угол наклона прямой к П₁; β – угол наклона прямой к П₂; γ – угол наклона прямой к П₃.

Обратите внимание!Для прямых уровня углы наклона к плоскостям проекций определяются непосредственно (без дополнительных построений).

Задача №3: Через заданную точку А провести отрезок прямой АВ и заключить его в плоскость Г (положение прямой и плоскости указано в индивидуальном задании).

План решения задачи:

1. Построить проекции прямой, проведенной через точку А, в соответствии с индивидуальным заданием;

2. Заключить построенную прямую в заданную плоскость.

Пример оформления и решения задачи представлен на рис.4.

У прямой общего положения, заданной отрезком АВ, горизонтальная и фронтальная проекции не параллельны осям проекций, так как у всех точек этой прямой одноименные координаты всегда разные.

Рис.4. Пример оформления и решения задачи №3

У прямой уровня (параллельной одной из плоскостей проекций) проекция на эту плоскость не параллельна осям, а две другие проекции – параллельны, так как у всех точек прямой уровня одна из координат одинакова.

У проецирующей прямой (параллельной двум плоскостям проекций, а третьей – перпендикулярной) проекция на ту плоскость, которой перпендикулярна прямая – точка, а две другие проекции – параллельны осям проекций.

Через прямую линию в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей.

Следы плоскости общего положения не обладают собирательным свойством, поэтому необходимо сначала найти следы прямой, заданной отрезком АВ, а потом через них провести следы плоскости произвольно, но не параллельно осям проекций. Следы плоскости должны сходиться в точках на осях проекций (точках схода).

Обратите внимание!Через прямую общего положения можно провести только одну плоскость общего положения со сливающимися следами, соединив горизонтальный и фронтальный следы прямой. Прямую общего положения невозможно заключить в плоскость уровня. Прямую проецирующую невозможно заключить в плоскость общего положения.

Оба следа плоскости уровня обладают собирательным свойством, то есть проекции отрезка прямой линии, лежащего в такой плоскости, будут лежать на соответствующих следах плоскости.

У проецирующей плоскости собирательным свойством обладает только один след – след на плоскости проекций, которой перпендикулярна данная плоскость. На нем и будет лежать проекция прямой линии, принадлежащей этой плоскости.

Задача №4: Построить следы плоскости Г, заданной тремя точками А, В и С, не лежащими на одной прямой, и провести в этой плоскости горизонталь h на расстоянии двух единиц от плоскости П₁ и фронталь f на расстоянии четырех единиц от П₂

.

План решения задачи:

1.Соединить одноименные проекции точек и перейти к способу задания плоскости – плоской фигурой (треугольником);

2. Построить проекции горизонтали плоскости – h, удаленной от П₁ на расстояние двух единиц ;

3. Построить фронтальный след горизонтали – N и его проекции – N_{1 и} N₂. Через него пройдет искомый фронтальный след плоскости;

4. Построить проекции фронтали плоскости – f, удаленной от П₂ на расстояние трех единиц от П_2;

5. Построить следы плоскости Г.

Пример оформления и решения задачи представлен на рис.5.

Горизонталь h - это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций П₁. Все точки горизонтали отстоят на одинаковое расстояние от П₁, т.е. координата Z всех точек горизонтали - величина постоянная и по условию задачи равная двум единицам. Следовательно, h₂ параллельна оси Х и отстоит от неё на расстоянии двух единиц. Горизонталь лежит в плоскости треугольника АВС и пересекает его стороны. Соединив горизонтальные проекции точек пересечения, построим горизонтальную проекцию горизонтали.

Построение горизонтального следа горизонтали (прямой) описано в пояснении к решению задачи №2.

Фронталь f – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций П₂. Все точки фронтали отстоят на одинаковое расстояние от П₂, т.е. координата Y всех точек фронтали – величина постоянная и по условию задачи равная трём единицам. Следовательно, f₁ параллельна оси Х и отстоит от неё на расстоянии трех единиц. Фронталь лежит в плоскости треугольника АВС и пересекает его стороны. Соединив фронтальные проекции точек пересечения, построим фронтальную проекцию фронтали.

По свойству проекций горизонтали и фронтали фронтальный след искомой плоскости Г – Г₂ проведём через фронтальный след горизонтали - N параллельно f₂, в пересечении Г₂ с осью Х₁₂ найдём Г_х, а горизонтальный след плоскости Г – Г₁ проведём через Г_х параллельно h₁.

Задача №5: Построить проекции линии пересечения двух плоскостей.

Линией пересечения двух плоскостей является прямая. Проекции этой прямой проводятся через одноименные проекции двух точек, принадлежащих одновременно обеим плоскостям.

План решения задачи:

а) плоскости общего положения заданы следами, которые пересекаются в пределах эпюра.

1. Первую общую точку для двух заданных плоскостей найдем на плоскости П₁ в пересечении горизонтальных следов;

2. Вторую общую точку – найдем на плоскости П₂ в пересечении фронтальных следов;

3. Соединив одноименные проекции полученных точек, получим проекции линии пересечения.

Рис.5. Пример оформления и решения задачи №4