Группа 1. Аксиомы принадлежности.

Геометрия Лобачевского. Интересные факты геометрии плоскости Лобачевского.

Николай Иванович Лобачевский родился 2 декабря 1792 года в Нижнем Новгород. Он окончил гимназию при казанском университете, затем и Казанский университет, после чего был оставлен там преподавателем. С 1816 профессор, с 1827-1846-ректор университета,1846-1855-помощник попечителя Казанского учебного округа. Скончался в 1856 году.

Сумма углов треугольника непостоянна, т.е. не одна и та же для всех треугольников.

Док-во: Пусть АВС – произвольный треугольник, а D – точка на стороне ВС. Простой подсчет показывает, что s_АВС=s_ABD-2d (рис. 220). Так как s_АВС-2d<0, то s_АВС<s_ABD.

Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Док-во: Пусть в треугольниках АВС и А^{`</sup>B<sup>`}C^{`</sup> имеем <А=<A<sup>`}, <B=<B`, <C=<C`. Докажем сначала, что АВ= A`B`. Предположим, что АВ¹ A`B`, для определенности допустим, что АВ> A`B`. На лучах АВ и АС возьмем точку В`` и C`` так, чтобы А В``= A`B`и A`C` (рис.221) по первому признаку равенства треугольников имеем треугольник AB``C``= треугольнику A`B`C`, поэтому <1=<2. По условию <2=<3, следовательно <1=<3. Аналогично устанавливаем, что <4=<6. По определению АВ>A`B`поэтому A-B``-В, т.е. прямая B``C`` пресекает сторону АВ треугольника АВС.

Группа 1. Аксиомы принадлежности.

Аксиомы этой группы определяют свойства взаимного располо­жения точек, прямых и плоскостей, выражаемые словом «принад­лежит» (или «лежит ,на», «проходит через»). Группа I содержит следующие восемь аксиом.

1₁ Каковы бы ни были две точки А, В, существует прямая а, проходящая через эти точки.

2₂. Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

1₃. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Сущест­вуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

1₄. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной
прямой, существует плоскость а, проходящая через эти точки. На
каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

1_5. Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

1₆. Если две точки А и Б прямой а лежат в плоскости а, то каждая точка прямой а лежит в плоскости а.

В этом случае говорят, что прямая а лежит в плоскости а или пло­скость а проходит через прямую а.

1₇. Если две плоскости а и b имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В.

1₈. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в од­ной плоскости.

Исходя из этих аксиом, можно доказать ряд теорем, большинство из которых в школьном курсе геометрии не доказываются, так как они наглядно очевидны. Перечислю лишь некоторые из этих теорем.

1^о. Две прямые имеют не более одной общей точки.

2°. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.

3°. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

4°. На каждой плоскости существуют три точки, не лежащие на одной прямой.