Параллельный перенос системы координат

Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: Параллельный перенос системы координат - student2.ru ("старая") и Параллельный перенос системы координат - student2.ru ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены (рис. 12.19)


Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Рис.12.19.Параллельный перенос системы координат


В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".

Пусть начало Параллельный перенос системы координат - student2.ru "новой" системы координат имеет в "старой" системе координат координаты Параллельный перенос системы координат - student2.ru , и пусть Параллельный перенос системы координат - student2.ru -- некоторая точка плоскости. Обозначим координаты точки Параллельный перенос системы координат - student2.ru в "старой" системе координат Параллельный перенос системы координат - student2.ru , а в "новой" -- Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Из рис. 12.19 ясно, что Параллельный перенос системы координат - student2.ru , Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Откуда Параллельный перенос системы координат - student2.ru , Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Так как точка Параллельный перенос системы координат - student2.ru взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых", можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при параллельном переносе осей координат:

Параллельный перенос системы координат - student2.ru (12.11)


Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой в "старых" и "новых" координатах.

Пусть некоторая кривая задана уравнением Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Тогда в системе координат Параллельный перенос системы координат - student2.ru , полученной параллельным переносом, с началом в точке Параллельный перенос системы координат - student2.ru уравнение кривой будет иметь вид Параллельный перенос системы координат - student2.ru .

Однако, для практического использования это предложение удобнее сформулировать немного подругому.

Пусть некоторая кривая задана уравнением Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Тогда в системе координат Параллельный перенос системы координат - student2.ru , полученной параллельным переносом, с началом в точке Параллельный перенос системы координат - student2.ru уравнение кривой будет иметь вид Параллельный перенос системы координат - student2.ru .

Доказательство обоих предложений очевидным образом следует из формул (12.11) связи между старыми и новыми координатами.

ПримерНарисуйте кривую Параллельный перенос системы координат - student2.ru и найдите ее фокусы.

Решение. Выделим полные квадраты по переменным Параллельный перенос системы координат - student2.ru и Параллельный перенос системы координат - student2.ru (см. пример 12.1):

Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Откуда

Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Разделим обе части на 9:

Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Введем новую систему координат с началом в точке Параллельный перенос системы координат - student2.ru , получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 12.7 получим, что кривая задается уравнением

Параллельный перенос системы координат - student2.ru

а это -- каноническое уравнение эллипса с полуосями 3 и 1. Сделаем рисунок (рис. 12.20).


Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Рис.12.20.Эллипс, заданный уравнением Параллельный перенос системы координат - student2.ru


Из формулы (12.5) Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Поэтому фокусы в новой системе координат имеют координаты Параллельный перенос системы координат - student2.ru , Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Используя формулы (12.11), находим старые координаты фокусов Параллельный перенос системы координат - student2.ru , Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Таким образом, фокусами являются точки Параллельный перенос системы координат - student2.ru , Параллельный перенос системы координат - student2.ru .

ПримерПостройте параболу

Параллельный перенос системы координат - student2.ru

найдите ее фокус и директрису.

Решение. Преобразуем уравнение к виду Параллельный перенос системы координат - student2.ru и выделим полный квадрат по переменному Параллельный перенос системы координат - student2.ru :

Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Из этого уравнения получим Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Произведем параллельный перенос осей координат: Параллельный перенос системы координат - student2.ru , Параллельный перенос системы координат - student2.ru , новое начало координат -- Параллельный перенос системы координат - student2.ru . В новых координатах уравнение параболы примет вид Параллельный перенос системы координат - student2.ru , которое тоже не является каноническим. Но если мы изменим направление оси ординат и переобозначим оси: Параллельный перенос системы координат - student2.ru , Параллельный перенос системы координат - student2.ru , то получим уравнение Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Это уравнение -- каноническое, Параллельный перенос системы координат - student2.ru , Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Строим оси и параболу (рис. 12.21).


Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Рис.12.21.Парабола, заданная уравнением Параллельный перенос системы координат - student2.ru


В системе координат Параллельный перенос системы координат - student2.ru фокус имеет координаты Параллельный перенос системы координат - student2.ru , а директриса задается уравнением Параллельный перенос системы координат - student2.ru . В системе координат Параллельный перенос системы координат - student2.ru координаты фокуса -- Параллельный перенос системы координат - student2.ru , а уравнение директрисы Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Наконец, в исходной системе координат Параллельный перенос системы координат - student2.ru получим фокус Параллельный перенос системы координат - student2.ru и уравнение директрисы Параллельный перенос системы координат - student2.ru , что и служит ответом к задаче.

Пример 12.9 Постройте кривую

Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Решение. Преобразуем уравнение к виду

Параллельный перенос системы координат - student2.ru (12.12)


Возведем обе части в квадрат:

Параллельный перенос системы координат - student2.ru

При этом появились новые точки, которые удовлетворяют последнему уравнению, но не удовлетворяют уравнению (12.12). Эти посторонние точки мы отбросим потом. Выделим полный квадрат по переменному Параллельный перенос системы координат - student2.ru :

Параллельный перенос системы координат - student2.ru

то есть

Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Обе части разделим на 4 и произведем параллельный перенос системы координат: Параллельный перенос системы координат - student2.ru , Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Получим уравнение

Параллельный перенос системы координат - student2.ru

которое является каноническим уравнением эллипса с полуосями: 2 и Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Нарисуем его (рис. 12.22).


Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Рис.12.22.Эллипс, заданный уравнением Параллельный перенос системы координат - student2.ru


Чтобы отбросить посторонние точки, возникшие при возведении в квадрат, преобразуем уравнение (12.12) к виду

Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Из этого уравнения видно, что Параллельный перенос системы координат - student2.ru . Поэтому от нарисованного ранее эллипса нужно оставить только левую половину (рис. 12.23).


Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Рис.12.23.Кривая, заданная уравнением Параллельный перенос системы координат - student2.ru

Литература

1. Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64-69.

2. Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64.

3. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия, гл. 6. М.: "Наука", 1988.

Наши рекомендации