Примеры решения задач

Задача №1

Для заданного ступенчатого стержня (рис.1.) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, определить перемещения сечения АА, если Р₁=50 кН; Р₂=150 кН; Р₃=30 кН; а=0,4 м; F=2,5 см².

Рис. 1.

Решение

1. Разбиваем стержень на участки 1,2,3,4, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы и меняются размеры сечения.

2. Применяя метод сечения, определяем продольные силы по участкам. Построение эпюры ведём справа, со свободного конца. Проведя произвольное сечение на 1 участке и рассматривая условие равновесия правой оставленной части, можем записать (см.рис.2а)

Поступая аналогично для второго участка, будем иметь (см.рис.2б)

Рис.2

Продольные силы и нормальные напряжения, направленные от сечения и вызывающие деформацию растяжения будем считать положительными, направленными к сечению и вызывающим деформацию сжатия – отрицательными.

Эпюра продольных сил N представлена на рис. 1а. В сечениях, где приложены внешние силы, получили скачки, равные этим словам.

3. Зная величину продольной силы на каждом участке и используя формулу (1), определяем нормальные напряжения, действующие в поперечных сечениях (рис. 1б):

4. Перемещение сечения А-А определяется деформацией части стержня, расположенного между неподвижным сечением (заделкой) и рассматриваемым сечением А-А.

Сечение А-А переместиться влево на 1,65 мм.

Задача №2

Определить диаметр d штока гидроцилиндра ГЦ, поддерживающего жесткую плиту АВ стенда для мойки тракторов (рис.3.) если он изготовлен из стали 45, имеющей , а необходимый запас по прочности К=3.

Рис.3.

Решение.

1. Делаем сечение, обозначаем усилие в штоке при N. Из условия равновесия системы определяем усилие в штоке. Он испытывает деформацию сжатия.

1. 
2. Применив условие прочности (2) при растяжении (сжатии) определяем диаметр штока

Округляем до ГОСТовских значений d=30мм.

Задача №3

Для заданного стального ступенчатого стержня, защемлённого с обеих сторон (рис 4.), построить эпюр продольных сил и определить максимальное нормальное напряжение в опасном сечении, если

Р=300кН; а=0,25 м; F=2 см², Е=2*10⁵ МПа.

Определить также величину полной потенциальной энергии деформации.

Рис.4.

Решение

1. Обозначим опорные реакции Ra и Rb и составив уравнение равновесия системы в виде

-Ra+P-Rb=0 Ra+Rb=P (1)

видим, что реакции определить не можем. Не зная реакции, мы не сможем определить с помощью метода сечений внутренние усилия- продольные силы. Следовательно, заданная система является статически неопределимой. Для её расчёта необходимо составить дополнительное уравнение перемещений. Превращаем заданную систему в статически определимую, отбросив одну из опор, например опору В (см. рис 4а). действие опоры В заменяем реакцией Rв. Отбросив опору В, мы дали возможность сечению В под действием сил Р и Rв перемещаться, но в заданной системе сечение В не имеет перемещений (жёсткая заделка).

Отразив этот факт, мы получаем необходимое уравнение перемещения

Используя закон Гука, можем записать (см. рис. 4б.в.)

Поставив значения перемещения (3) в уравнение (2), и решив его, получим

Тогда из (1) R_A=P-R_B =300-100=200кН.

1. Строим эпюры продольных сил по участкам (см. рис. 5)

Нормальные напряжения в поперечных сечениях равны

Рис.5.

1. Полная потенциальная энергия деформации стержня равна сумме энергий, накапливаемых на каждом участке

Задача №4

Жесткая плита АВ поддерживается двумя стальными стержнями одинакового сечения (рис.6.)

Определить, какие возникнут температурные напряжения в обоих стержнях, если будет нагреваться только 1 стержень на 80⁰ . Коэф. температурного расширения стали а=12*10^-6 , Е=2*10⁵ МПа.

Рис.6.

Решение.

1. Вследствие нагрева 1 стержень, стремясь расширится (удлиниться) будет воздействовать на второй стержень, вызывая в нём сжимающее усилие N₂. Второй стержень, сопротивляясь, будет тоже воздействовать на 1 стержень, вызывая в нём сжимающее усилие N₁. Для определения этих усилий составим уравнение равновесия системы в виде

Таким образом, имеем одно уравнение с 2-мя неизвестными усилиями. Следовательно, система является статически неопределимой. Для её расчёта составляем уравнение перемещений из следующих рассуждений (см. рис. 7): если бы в конструкции не было второго стержня, то 1 стержень за счёт нагрева получил бы температурное удлинение В действительности же второй стержень, сопротивляясь, будет ограничивать температурное удлинение 1 стержня. Точка приложения усилия N₁ получит перемещение , которое очевидно будет равно

Точка приложения усилия N₂ получает перемещение , которое, спроектировав на направление действия усилия N₂ , можем выразить через его деформацию

Используя подобие прямоугольных треугольников с катетами , , 5 и 3 м, запишем

с учётом выражений (2) и (3) будем иметь

Из рис.6. видно, что

Решая совместно уравнение (1) и (4), определяем усилия в стержнях

1. Температурные нормальные напряжения, возникающие в стержнях будут равны

Задача №5

Жёсткая плита АВ должна поддерживаться двумя стальными стержнями 1 и 2, у которых сечения равны F₁=F; F₂=0,8F (рис.8). При изготовлении 1 стержень оказался короче требуемой длины на величину . Определить, какие монтажные напряжения возникнут в стержнях при сборке конструкции, если

Рис.8.

Решение

1. При сборке конструкции (рис. 8.) зазор мы будем «закрывать» очевидно за счёт деформации растяжения 1 стержня - и перемещения обусловленного деформацией сжатия стержня 2 (рис. 9). Составим уравнение равновесия системы в виде

=0, т.е. N₁ = 0.866 N₂ (1)

Рис.9

Отсюда следует, что система статически неопределима. Дополнительное уравнение перемещений составим, рассматривая характер деформации конструкции (см.рис.9).

Очевидно, что , но из подобия треугольников видим, что

Перемещение точки приложения усилия N₂ выразим через деформацию укорочения стержня 2.

Таким образом, получим после преобразований

N₂=

С учётом выражения (1), усилие в 1 стержне составит

N₁=0,866*0,204*10^-3 = 0,176*10^-3

1. Монтажные напряжения в стержнях очевидно будут равны

Варианты домашних заданий

В домашнее задание №1 входит решение 4 задач в соответствии с вариантом, выданным преподавателем. Номера задач по каждому варианту заданы в таблице 1. первая цифра №-задачи означает непосредственно сам номер задачи, которую надо решить, а вторая цифра – номер строки исходных данных.

Таблица №1

Вариант	Номера задач
	II	III	IV
	1-1	9-1	16-3	25-1
	1-2	9-2	17-1	25-2
	1-3	9-3	17-2	25-3
	1-4	9-4	17-3	25-4
	1-5	10-1	17-4	26-1
	2-1	10-2	18-1	26-2
	2-2	10-3	18-2	26-3
	2-3	10-4	18-3	26-4
	2-4	11-1	19-1	27-1
	3-1	11-2	19-2	27-2
	3-2	11-3	19-3	27-3
	3-3	11-4	19-4	27-4
	3-4	12-1	20-1	27-5
	4-1	12-2	20-2	28-1
	4-2	12-3	20-3	28-2
	4-3	12-4	20-4	28-3
	5-1	13-1	21-1	28-4
	5-2	13-2	21-2	28-5
	5-3	13-3	21-3	29-1
	6-1	13-4	21-4	29-2
	6-2	13-5	22-1	29-3
	6-3	14-1	22-2	29-4
	7-1	14-2	22-3	30-1
	7-2	14-3	23-1	30-2
	7-3	15-1	23-2	20-3
	7-4	15-2	23-3	30-4
	8-1	15-3	23-4	31-1
	8-2	15-4	24-1	31-2
	8-3	16-1	24-2	31-3
	8-4	16-2	24-3	31-4

Задача №1

В заданной схеме навески трактора (рис.9) определить усилия N, напряжения и деформации в обоих стальных стержнях, если

№	Р, кН		, м	F1, мм2	l2, м	F2, мм2
1-1	15,5		0,9		0,9
1-2	19,0		1,2		1,2
1-3	38,0		1,5		1,5
1-4	30,0		1,30		1,3
1-5	35,0		1,0		0,8

Рис.9

Задача №2

Какой груз Р можно приложить к данной подвеске, изготовленной из 2-х стержней (рис.10)

Стержень 1 – СТАЛЬНОЙ, трубчатого сечения, с допускаемым напряжением

Стержень 2 – из прочного алюминиевого сплава, квадратного поперечного сечения со стороной «а», с допускаемым напряжением

Рис.10

№		1-й стержень	2-ой стержень
Д, мм	С=d/Д	, МПа	а, мм	, МПа
2-1			0,80
2-2			0,85
2-3			0,90
2-4			0,75

Задача №3

Опорная жесткая плита АВ стенда для разборки тракторов ТИПА Т-150 К закреплена шарнирно в точке А и поддерживается силовым гидроцилиндром ГЦ (рис. 11). Определить диаметр d штока гидроцилиндра, изготовленного из стали, имеющей предел текучести . Конструкция должна иметь запас прочности «К» при давлении колёс трактора Р.

№	Р, кн	l, м	, МПа	К
3-1	14,0	2,2
3-2	16,5	2,4		2,5
3-3	18,0	2,5		1,5
3-4	20,0	3,0		2,0

Рис.11

Задача №4

Подобрать размеры поперечного сечения двух стальных тяг АВ и СД, поддерживающих две жесткие балки ЕД и СК (рис.12), если нагрузка на конструкцию равна Р, а допускаемое напряжение для материала тяг равно .

№	а, м	Р, кн	, МПа
4-1	1,0
4-2	1,2
4-3	1,5

Рис. 12

Задача №5

В заданной конструкции (рис.13) всё четыре стержня стальные, одинакового поперечного сечения, состоящего из 2-х разнобоких уголков. Определить напряжения, возникающие в стержнях при заданной нагрузке Р.

№	Р, кН	№ уголка	Размеры, м
а	в
5-1		50х50х3	3,0	4,0
5-2		70х70х6	3,5
5-3		75х75х7	4,0	4,0

Рис. 13

Задача №6

Схема сцепки бороны АВ с трактором приведена на рис. 14. определить напряжение во всех 5 тягах, изготовленных из круглого стального прутка диаметром d, если сопротивление почвы при бороновании составляет q.

№	q, кН/м	a, м	b, м	h, м	d, мм
6-1	1,0	0,5	2,0	0,75
6-2	1,2	0,75	3,0	1,00
6-3	1,5	0,6	4,0	1,4

Рис.14

Задача №7

Подобрать размеры сечения двух растяжек 1 и 2, заданной конструкции трубчатое сечение при допускаемом напряжении материала , если нагрузка равна Р (рис. 15)

№	Р, кН	А, м	h,м	, МПа	С=d/Д
7-1		0,8	0,6		0,7
7-2		0,5	0,8		0,8
7-3		0,4	0,5		0,85
7-4		0,6	1,0		0,75

Рис.15

Задача №8

Определить напряжения в стальных тягах 1 и 2 заданной конструкции, нагруженной силой Р (рис.16). определить также вертикальное перемещение точки приложения внешней силы (точки К), если:

№	Р, кН	а, м	№ уголка	h,м	№ швеллера
8-1		1,0	80х80х8	1,5
8-2		1,2	90х90х6	1,5
8-3		1,5	100х100х7	2,0
8-4		2,0	100х100х10	2,2

Рис.16

Задача №9

Для заданного ступенчатого бруса с жёстко заделанными концами и нагруженного силами Р₁ и Р₂ построить эпюру продольных сил, определить максимальное напряжение в опасном сечении и подсчитать полную потенциальную энергию деформации (рис.17)

№	Р1, кН	Р2, кН	F, см2	а,м	Е, МПа
9-1			10,0	0,4	2,0*105
9-2			13,0	0,5	1,0*105
9-3			15,0	0,7	1,2*105
9-4			20,0	0,6	2,0*105

Рис. 17

Задача №10

Стержень, состоящий из 2-х разнородных материалов, защемлён с обоих концов и нагружён силой Р (рис. 18). Определить напряжения в каждой части стержня, если:

№	Р, кН	l1, м	Е, МПа	l2, м	Е2, МПа	F, см2
10-1		0,8	1*105	0,2	0,7*105	10,0
10-2		0,6	1,2*105	0,4	1,0*105	15,0
10-3		0,8	0,7*105	0,5	1,2*105	20,0
10-4		1,2	2,0*105	0,8	0,7*105	25,0

Рис.18

Задача №11

Жёсткая плита АВ загрузочного устройства шарнирно закреплена в точке В и поддерживается двумя стальными стойками 1 и 2 (рис.19). Определить усилия и напряжения в этих стержнях при заданной нагрузке, если:

№	q, кН/м	a, м	l1, м	F1, см2	l2, м	F2, см2
11-1		2,5	1,2	10,0	0,8	8,0
11-2		2,0	1,5	12,5	1,0	10,0
11-3		1,5	1,6	14,0	1,2	12,0
11-4		1,0	1,8	19,0	1,5	14,5

Рис.19

Задача №12

Жёсткая плита АВ стенда для мойки тракторов (рис.20) поддерживается шарниром «С» и двумя стальными стержнями 1 и 2. Определить с каким запасом прочности будет работать заданная конструкция, если:

Рис.20

№	Р, кН	a, м	l1, м	l2, м	, МПа	F2, см2
12-1		1,5	1,5	1,6		2,0
12-2		1,8	1,2	1,5		2,5
12-3		1,6	1,0	1,4		3,0
12-4		1,62	1,0	1,2		3,5

Задача №13

Опорное устройство (рис. 21) стенда для обкатки тракторов представляет собой круглый стальной стержень диаметром d, вставленный в трубу из алюминиевого сплава размерами d₀, Д. Определить напряжения, возникающие в стержне и трубе, если они через жёсткую плиту сжимаются силой Р (в расчётах применять Е_с=2*10⁵ МПа, Е_а=0,7*10⁵ МПа)

№	Р, кН	d, мм	d0, мм	Д, мм	l,м
13-1		20,0	22,0		1,2
13-2		25,0	27,0		1,4
13-3		13,5	37,0		1,5
13-4		40,0	42,0		1,0

Рис. 21

Задача №14

Емкость для ГСМ (воды) опирается в шарнире А и поддерживается двумя стальными растяжками 1 и 2, изготовленными из 2х одинаковых уголков (рис. 22).

Определить напряжения в этих растяжках если:

№	Р, кН	a, м	в, м	Номер уголка
14-1		0,5	3,0	63х63х6
14-2		1,0	4,0	80х80х8
14-3		0,8	2,5	70х70х5

Рис. 22

Задача №15

Настенный поворотный кран (рис. 23) представляет собой жёсткую балку АВ, поддерживаемую двумя растяжками 1 и 2 изготовленными из стали с пределом текучести , круглого поперечного сечения диаметром d.

Определить допускаемую нагрузку для этого крана, исходя из прочности растяжек, обеспечивая требуемый запас прочности «К».

№	а, м			d, мм	, МПа	К
15-1	1,5
15-2	2,0					1,5
15-3	2,5					1,4
15-4	3,0

Рис.23

Задача №16

Сцепка состоит из 2-х одинаковых стальных стержней, изготовленных из 2-х равнобоких уголков. Определить номер уголка, если на сцепку действует внешняя нагрузка, равная Р, а для материала стержней допускаемое напряжение равно .

№	Р, кН		l, м	,МПа
16-1	40,0		1,5
16-2	75,0		1,8
16-3	60,0		1,2

Рис.24

Задача №17

Сцепка состоит из 5-ти одинаковых стальных стержней (рис. 25). Определить усилия в стержнях и по наиболее нагруженному стержню подобрать трубчатое сечение при допускаемое напряжении материала стержней .

№	Р, кН	С=d/Д	,МПа	а, м
17-1		0,75		1,0
17-2		0,80		1,2
17-3		0,85		1,4
17-4		0,70		0,80

Рис. 25

Задача №18

Квадратная жёсткая плита стола для разборки автотракторных двигателей (рис. 26) опирается на 4 симметрично расположенные стальные стойки одинаковой длины и одинакового поперечного сечения (швеллер). Определить величину усилия в каждой стойке при заданной внешней нагрузке Р, а также № швеллера при допустимом напряжении .

№	Р, кН	a, м	в, м	,МПа
18-1		0,8	0,25
18-2		1,2	0,40
18-3		1,5	0,30

Рис. 26

Задача №19

Жесткая плита опирается шарнирно в точке «С» и поддерживается двумя стальными стойками указанных размеров (рис. 27). Определить температурные напряжения в обоих стержнях, если будет подвергаться нагреву только 1 стержень на .

Позиция	1 стойка	2 стойка	.	а, м	в, м
F1, см2	l1,м	F2, см2	L2, м
19-1	5,0	1,5	7,5	1,2		1,5	3,0	12,5
19-2	6,0	1,8	12,0	1,5		1,2	3,6	12,5
19-3	8,0	2,0	12,0	1,6		1,4	3,5	12,5
19-4	4,0	2,2	8,0	1,4		1,3	2,6	12,5

Рис. 27

Задача № 20

Определить температурные напряжения в стальной распорке при нагреве её на (рис. 28). Коэф. линейного расширения стали

№	а, м	в, м		F, см2
20-1	0,8	2,2	2,0	15,0
20-2	1,0	2,0	2,5	20,0
20-3	1,2	2,4	1,5	25,0
20-4	1,2	3,0	3,0	40,0

Рис. 28

Задача № 21

В подвеске (рис. 29) состоящей из 3-х стальных стержней с одинаковой площадью поперечного сечения нагреву на , при эксплуатации подвергаются только крайние (1 и 3) стержни. Определить температурные напряжения во всех стержнях, если:

Рис.29

Позиция	.		h, м	F, см2
21-1			1,6		12,5
21-2			1,8		12,0
21-3			2,0		11,6
21-4			1,5		12,5

Задача №22

позиция	∆t,0С	l,м	ac*10-6	aм*10-6	aа*10-6
22-1		1,0	12,0	16,5	21,6
22-2		0,8	12,5	19,0	24,0
22-3		0,9	11,6	22,0	22,0

В каком из указанных стержней (рис. 30) одинаковой длинны и поперечного сечения, возникнут наибольшие температурные напряжения при их нагреве, если:

Рис.30

Задача №23

В заданной конструкции (рис31), представляющий собой жесткую шарнирно-опертую балку с 2мя поддерживающими стальными тягами одинакового поперечного сечения F , 2ой стержень был изготовлен короче требуемой длины на величину d. Определить монтажные нормальные напряжения в обоих стержнях, которые возникнут при сборке конструкции, если:

Рис.31

Позиция	a, м	l1,м	F1,см2	l2,м	F2,см2	d,мм
23-1	1,0	1,5	5,0	1,8	5,0	1,0
23-2	1,5	1,8	8,0	2,2	8,0	1,2
23-3	1,8	2,0	4,5	2,5	4,5	1,5
23-4	2,2	2,5	10,0	3,0	10,0	2,0

Задача №24

В заданной конструкции (рис 32) 2й стержень был изготовлен короче требуемой длины на величину d. Определить величину монтажных напряжений, возникающих в стержнях при сборке конструкций, если:

Рис.32

позиция	а,м	l1=l3	F1=F3,см	l2,м	F2,см	d, мм
24-1	1,5	1,5	2,0	2,0	3,0	1,0
24-2	2,0	1,8	2,5	2,4	3,75	1,2
24-3	2,5	1,2	4,0	1,6	6,0	1,5

Задача №25

В подвеске колеса плуга, изображенной на (рис33) средний стержень был изготовлен длиннее требуемой длины на величину d. Определить монтажные напряжения которые возникнут во всех 3^х стержнях после сборки. Все стержни стальные, одинаковой площадью поперечного сечения F.

Позиция	h,м	a,0	d,мм	F,см
25-1	0,5		0,8	5,0
25-2	0,6		1,0	4,0
25-3	0,8		1,2	2,5
25-4	1,0		1,5	6,0

Рис.33

Задача №26

В подвеске (рис34) 3й стержень был изготовлен короче требуемой длины на величину d. Определить монтажные напряжения во всех 3х стержнях после сборки конструкции, стержни стальные, с одинаковой площадью поперечного сечения F.

Позиция	a,0	h,м	l3,м	d,мм	F,см
26-1		1,5	2,0	0,8	5,0
26-2		1,8	1,5	1,0	4,0
26-3		1,2	1,8	1,4	8,0
26-4		2,0	1,6	1,2	10,0

Рис.34

Задача № 27

Подобрать размеры стальных стержней 1 и 2, поддерживающих шарнирно - опертую жесткую балку АВ и нагруженную нагрузкой интенсивностью q (рис. 35)

Допускаемое напряжение для материала стержней . Определить так же из условия прочности, какие потребуются размеры поперечного сечения 1 стержня, если убрать 2 стержень.

Позиция		, м	, МПа	Форма сечения
27-1		1,0		(швеллер)
27-2		1,2		Два равнобоких уголка
27-3		1,4		Кольцо
27-4		0,8		(круг)
27-5		0,6		(квадрат)

Рис.35.

Задача № 28

Жесткая балка АВ, шарнирно – опертая в точке “С”, поддерживается двумя стальными стержнями (рис. 36). Определить допустимую нагрузку на конструкцию из условия прочности стержней, если:

Позиция	, м	, МПа	К
28-1	0,5		1,5
28-2	0,8		2,0
28-3	1,0		1,4
28-4	1,2		1,2
28-5	1,5		1,8

Рис. 36

Задача № 29

Короткая деревянная стойка длиной с квадратным сечением размером “a” , усиленная четырьмя равнобокими уголками сжимается силой Р, передающейся через жесткую плиту (рис. 37). Определить напряжения, возникающие в уголках, если:

Позиция	Р, кН	. м	, мм	№ уголка
29-1		1,2		60х60х5
29-2		1,0		70х70х7
29-3		0,9		75х75х5
29-4		0,8		90х90х9	18

Рис.37

Задача № 30

Клеть грузового лифта весом Р подвешена на одинаковых стальных тросах длиной и площадью поперечного сечения F. Определить напряжения у верхнего и нижнего концов троса, если 1м троса весит .

Позиция	Р, кн.	. м		, кн.
30-1			4,0	0,40
30-2			4,5	0,45
30-3			7,0	0,25
30-4			9,0	0,20

Рис.38

Задача № 31