Бесконечно малые величины и их свойства

Единственность предела и ограниченность сходящейся числовой последовательности

Определение 1. Числовая последовательность Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru (1) называется ограниченной, если множество членов этой последовательности образует ограниченное множество.

В этом случае числовую последовательность (1) мы будем называть ограниченной величиной.

Определение 2. Числовая последовательность (1) сходится и имеет предел Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru (Возможно использование записи Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru ), если Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru .

Давайте повторим это определение, используя в большей степени русский язык. Предел числовой последовательности существует и равен некоторому числу, если, начиная с некоторого номера, все члены последовательности удалены от этого предельного числа менее, чем любое, наперед заданное, сколь угодно малое положительное число. Можно это же самое сказать другими словами. Число Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru будет пределом числовой последовательности (1) тогда и только тогда, когда для каждой Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru -окрестности точки Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru все члены последовательности, начиная с некоторого номера, лежат в этой Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru –окрестности. Заметим, что интервал Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru называется Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru -окрестностью точки Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru .

Теорема 1. Если предел числовой последовательности существует, то он единственный.

Доказательство. Доказательство теоремы проведем «методом от противного». Предположим, что теорема неверна и существует, как минимум, 2 числа Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru и Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru ( Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru ), для которых выполнены условия определения 2. В этом определении возьмем Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . Тогда, после номера Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru члены последовательности отличаются от числа Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru меньше чем на Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , а после номера Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru члены последовательности отличаются от числа Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru меньше чем на Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . Покажем, что этого не может быть. В самом деле, при Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru выполнены соотношения Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , откуда для этих Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru имеем Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . Теорема доказана.

Теорема 2. Если числовая последовательность имеет предел, то эта числовая последовательность ограничена.

Доказательство. Доказательство будет носить конструктивный характер. Возьмем Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru и найдем соответствующее Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . Разобьем последовательность на 2 части: первые Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru членов и остальные члены последовательности. Первая группа состоит из конечного числа членов и поэтому ограничена. Вторая группа состоит из чисел, удаленных от предельного значения Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru не больше чем на 1, и поэтому также ограничена. Объединение двух ограниченных множеств есть множество ограниченное. Теорема доказана.

Бесконечно малые величины и их свойства

Определение 3. Числовая последовательность называется бесконечно малой величиной, если она имеет предел, равный 0.

Для бесконечно малых величин используются обозначение б. м.

Пусть заданы числовые последовательности Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru и Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . Числовая последовательность с общим членом Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru называется суммой этих числовых последовательностей. Числовая последовательность с общим членом Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru называется суммой этих числовых последовательностей. Числовая последовательность с общим членом Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru называется суммой этих числовых последовательностей.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Доказательство. Достаточно доказать утверждение для суммы двух б. м. Пусть числовые последовательности Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru и Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru являются бесконечно малыми величинами, т. е. пределы этих последовательностей равны 0. Данный факт означает следующее. Если задано произвольное, скроль угодно малое положительное число Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , то для числа Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru и числовой последовательности Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru существует номер Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , обладающий тем свойством, что при Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru выполнено соотношение Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . По той же причине для этого же числа Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru и числовой последовательности Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru существует номер Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , обладающий тем свойством, что при Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru выполнено соотношение Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . Возьмем число Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , тогда при Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru справедливы соотношения Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . Итак, для произвольного Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru мы нашли номер Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , такой что при Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru выполнено Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . Следовательно, предел последовательности Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru равен 0, и она является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.

Теорема 4. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину есть величина бесконечно малая.

Доказательство. Пусть числовая последовательность Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru является бесконечно малой величиной, а числовая последовательность Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru является ограниченной величиной. Это означает что, с одной стороны, Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , с другой стороны, существует число Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru такое, что для каждого Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru выполнено условие Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . Пусть теперь задано произвольное, скроль угодно малое положительное число Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . Рассмотрим числа Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , для него в числовой последовательности Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru существует номер Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , обладающий тем свойством, что при Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru выполнено соотношение Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . При этом будет выполнено условие Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , что и означает, что произведение этих двух величин – бесконечно малой и ограниченной есть величина бесконечно малая. Теорема доказана.

Свойства пределов

А как конкретно происходит вычисление пределов, в данном случае числовых последовательностей? Мы стараемся представить величину, предел которой надо найти, в виде суммы, разности, произведения, частного более простых величин, предел которых легко найти. Для обоснования такого подхода надо сформулировать и доказать свойства пределов.

Теорема 5. Числовая последовательность Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru имеет предел, равный Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru тогда и только тогда, когда последовательность Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru является бесконечно малой величиной.

Доказательство. Пусть Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , т.е. при для каждого Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru при Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru выполнено неравенство Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru ( Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru ). Но это неравенство равносильно тому, что Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , т. е. последовательность Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru имеет предел 0, т.е. является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.

Теорема 6. (Свойства пределов) Пусть Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , тогда Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , а если, кроме того, Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , то Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru .

Доказательство. Докажем в условиях теоремы формулу Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , т. е. мы докажем, что предел суммы последовательностей равен сумме их пределов, если каждый из пределов существует. Так как Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , то Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , где Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru - б. м. Аналогично Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru , где Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru - б. м. Отсюда следует, что Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . В последней скобке сумма двух бесконечно малых величин есть величина б. м. Поэтому Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru представляется в виде суммы Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru и бесконечно малой величины Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . В силу теоремы 5 это означает, что Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru . Первое утверждение теоремы доказана. Формула Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru доказывается совершенно аналогично. Рассмотрим теперь формулу Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru и используем для преобразования левой части те же обозначения. Поэтому Бесконечно малые величины и их свойства - student2.ru

Наши рекомендации