Комплексные числа в тригонометрической форме

Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме

Алгебраической формой комплексного числа z = (a, b).называется алгебраическое выражение вида

z = a + bi.

Арифметические операции над комплексными числами z₁= a₁+ b₁i и z₂= a₂+ b₂i, записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.

1. Сумма (разность) комплексных чисел

z₁± z₂= (a₁± a₂) + (b₁±b₂)∙i,

т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.

2. Произведение комплексных чисел

z₁∙z₂= (a₁∙a₂- b₁∙b₂) + (a₁∙b₂+ a₂∙b₁)∙i,

т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i²=1.

3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:

, (z₂ ≠ 0),

т.е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:

.

Легко показать, что

Примеры.

1. Найти сумму комплексных чисел z₁= 2 – i и z₂= –4 + 3i.

z₁+ z₂= ( 2 + (–1)∙i )+ (–4 + 3i ) = ( 2 + (–4)) + ((–1) + 3 ) i = –2+2i.

2. Найти произведение комплексных чисел z₁= 2 – 3i и z₂= –4 + 5i.

₌ ( 2 – 3i ) ∙ (–4 + 5i ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i – 3i∙5i =7+22i.

3. Найти частное z от деления z₁= 3 – 2на z₂ = 3 – i.

z = .

4. Решить уравнение: , x и y Î R.

(2x + y ) + ( x + y )i = 2 + 3i.

В силу равенства комплексных чисел имеем:

откуда x = –1 , y = 4.

5. Вычислить: i², i³, i⁴, i⁵, i⁶, i^-1 , i^-2.

6. Вычислить , если .

.

7. Вычислить число обратное числу z =3-i.

.

Комплексные числа в тригонометрической форме

Комплексной плоскостью называется плоскость с декартовыми координатами (x, y), если каждой точке с координатами (a, b) поставлено в соответствие комплексное число z = a + bi. При этом ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой. Тогда каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка A ( a, b ) или вектор .

Следовательно, положение точки А ( и, значит, комплексного числа z) можно задать длиной вектора | | = r и углом j , образованным вектором | | с положительным направлением действительной оси. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается | z |=r, а угол j называется аргументом комплексного числа и обозначается j = arg z .

Ясно, что | z | ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.

Из рис. 2 видно, что .

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до 2pk, k Î Z.

Из рис. 2 видно также, что если z=a+bi и j=arg z, то

cosj = , sinj = , tgj = .

Если zÎ Rи z > 0,то arg z = 0 +2pk;

если z Î Rи z < 0,то arg z = p + 2pk;

если z = 0, arg z не определен.

Главное значение аргумента определяется на отрезке 0 £ arg z £ 2p,

либо -p £ arg z £ p.

Примеры:

1. Найти модуль комплексных чисел z₁ = 4 – 3i и z₂ = –2–2i.

_;

.

2. Определить на комплексной плоскости области, задаваемые условиями:

1) | z | = 5; 2) | z | £ 6; 3) | z – (2+i) | £ 3; 4) 6 £ | z – i | £ 7.

Решения и ответы:

1) | z | = 5 Û Û - уравнение окружности радиусом 5 и с центром в начале координат.

2) Круг радиусом 6 с центром в начале координат.

3) Круг радиусом 3 с центром в точке z₀ = 2 + i.

4) Кольцо, ограниченное окружностями с радиусами 6 и 7 с центром в точке z₀ = i.

3. Найти модуль и аргумент чисел: 1) ; 2) .

1) ; а = 1, b = Þ ,

Þ j₁ = .

2) z₂ = –2 – 2i; a = –2, b = -2 Þ ,

.

Указание: при определении главного аргумента воспользуйтесь комплексной плоскостью.

Используя формулы можно перейти от алгебраической формы записи комплексных чисел к тригонометрической форме (формула Муавра):

.

Комплексные числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число кратное 2p.

4. Записать числа в тригонометрической форме.

1) , 2) , 3) , 4) .

1) , ,

.

(За значение угла берем наименьшее неотрицательное из возможных значений аргумента.)

Таким образом: z₁ = .

2) , r₂ = 1, j₂ = , .

3) , r₃ = 1, j₃ = , .

4) , r₄ = 1, j₄ = , .