Дифференциальные уравнения движения жидкости

Это уравнение векторное и в проекциях на оси выбранной системы координат дает три уравнения. Вывод дифференциального уравнения движения в общем случае требует громоздких математических выкладок. Поэтому для упрощения вывода рассмотрим одномерное течение жидкости. Выделим в потоке вязкой жидкости, как показано на рис. 2.3, элементарный объем с размерами ребер dx, dy и dz.

Рис. 2.3

Скорость в потоке изменяется только в направлении оси Оу. Силы, действующие на элемент жидкости, можно разделить на массовые (или объемные) и поверхностные. К массовым силам относятся сила тяжести, центробежная сила и электромагнитные силы. Мы в дальнейшем будем учитывать только силу тяжести. К поверхностным силам относятся силы давления и силы трения. Найдем проекции этих сил на ось Ох.

Сила тяжести равна произведению массы элемента на проекцию ускорения свободного падения на ось Ох

Равнодействующая сил давления в проекции на ось Ох равна

Равнодействующая сил трения с учетом уравнения (1.11) в проекции на ось Ох составляет

Суммируя получим проекцию равнодействующей всех сил на ось Ох, приложенных к объему

(а)

Согласно второму закону механики эта равнодействующая равна произведению массы элемента на проекцию ее ускорения на ось Ох и учитывает силы инерции

(б)

Приравнивая правые части (а) и (б) и производя сокращения, получим уравнение движения вдоль оси Ох

В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости уравнение движения в проекциях на оси Ox, Oy и Oz соответственно имеет вид:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Или в векторном виде

(2.8)

Уравнения (2.5) – (2.8) называют уравнениями Навье-Стокса. Член, стоящий в левой части уравнений, представляет собой полную производную от скорости по времени

(2.9)

где i соответственно x, y, z.

Первые слагаемые в правой части (2.9) характеризуют локальное изменение скорости во времени в какой-либо точке жидкости. Остальные три слагаемых в правой части характеризуют изменение скорости при переходе от точки к точке. Такая полная производная называется субстанциональной производной. Уравнения движения получены при постоянных теплофизических свойствах жидкости. В то же время свободное движение жидкости (естественная конвекция) определяется разностью плотностей холодных и нагретых частиц жидкости. В общем случае при r¹const необходимо учитывать и энергию деформации жидкости. Поэтому ограничимся приближенным учетом переменности плотности в слагаемом, связанным с силой тяжести в уравнениях движения. Пусть плотность линейно зависит от температуры

где r и r₀ – плотности, соответствующие температурам t и t₀;

J=t-t₀; t₀ – некоторая фиксированная температура (точка отсчета).

Подставляя это значение плотности в первое слагаемое правой части (2.8), получим приближенно

Первое слагаемое правой части можно трактовать как сумму силы тяжести , взятой при определенной плотности, и подъемной (архимедовой) силы . Член можно представить как градиент гидростатического давления р₀ в покоящейся жидкости с плотностью r₀. Тогда вместо можно написать grad p₁, где p₁=p-p₀. При такой замене приближенное векторное уравнение движения будет описывать и естественное движение жидкости (естественную конвекцию)

(2.10)

Таким образом, для задач теплообмена система дифференциальных уравнений сохранения массы (уравнение неразрывности или сплошности), энергии и движения в проекциях на координатные оси оказывается замкнутой. Эта система уравнений в принципе позволяет определить в движущейся жидкости поле температуры T=T(x, y, z, t), поле давлений p=p(x, y, z, t) и поля проекций скоростей w_x=w_x(x, y, z, t), w_y=w_y(x, y, z, t), w_z=w_z(x, y, z, t).

Для задач массообмена, не осложненных теплообменом (в изотермических условиях), уравнение энергии в этой системе заменяется уравнением сохранения массы i-го компонента смеси. Вывод этого уравнения, которое называют уравнением массообмена, аналогичен выводу дифференциального уравнения сохранения энергии при q_V=0 и имеет вид

(2.11)

где mi=Ci/r – относительная массовая концентрация i-го компонента.

В случаях, когда массообмен осложнен теплообменом (в неизотермических условиях), кроме уравнения (2.11), необходимо уравнение сохранения энергии. Однако вывод этого уравнения с учетом (1.13) усложняется. Для двух компонентной (бинарной) смеси оно имеет вид

(2.12)

Из этого уравнения видно, что, если удельные изобарные теплоемкости компонентов смеси равны с_р1=с_р2, то результирующий перенос энтальпии отсутствует, и это уравнение переходит в ранее полученное уравнение (2.4).