Вероятность события. Частота события

В контрольной работе каждый студент решает 11 задач.

По темам 1, 3, 4, 5, 6, 7 студент решает по одной задаче,

по темам № 2 и № 8 – по две задачи в соответствии с номером варианта.

Нумерация задач в темах 1¸7 соответствует номеру варианта - с 0 по 9.

Номер варианта определяется последней цифрой зачетной книжки.

Номер варианта для задач по теме № 8 определяется по двум последним цифрам зачетной книжки.

Подробную информацию по формированию исходных данных для задач по теме 8 смотри ниже на стр. 15).

Комбинаторика. Размещения. Перестановки. Сочетания

Соединения - различные подмножества множества X={x₁, x₂,..., x_n}, содержащие m элементов, причем 1 £ m £ n.

Размещения из m элементов по n - это соединения, содержащие каждое по m элементов из n элементов множества Х, которые отличаются либо самими элементами, либо их порядком.

Число всевозможных размещений из n элементов по m в каждом равно:

, где n! = 1'2'3 ... (n-1) ' n.

Например, имеется 6 учебных дисциплин, в расписании стоит 4 пары занятий в день. Число вариантов расписания на день =6*5*4*3=360.

Перестановки - это соединения, каждое из которых содержит n элементов и которые отличаются друг от друга только порядком элементов, т.е. это размещения из n элементов по n.

Число перестановок из n элементов равно P_n = n!.

Сочетания из n элементов множества Х по m - это соединения, которые отличаются по крайней мере одним элементом. Т.е. подмножества из m элементов множества n элементов, порядок которых не играет роли (различия в порядке элементов не меняют подмножества).

Число сочетаний из n элементов по m (n V m) в каждом равно:

.

Случайные события. Несовместные события.

Сумма событий. Произведение событий

Теория вероятностей занимается изучением законо­мерностей случайных событий и случайных величин при массовом их проявлении.

Под случайнымсобытием в теории вероятностей пони­мается событие, которое в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным, если оно обязательно появится в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте. События A₁, A₂,''', A_n называются попарно несовместными, если наступление одного из них исключает появление любого другого. СуммойA₁+A₂+'''+A_n событий A₁, A₂,'', A_n называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. ПроизведениемA₁A₂'''A_n событий A₁, A₂,''', A_n называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий.

Вероятность события. Частота события

Количественной мерой возможности появления события является вероятность. Наиболее широкое распростране­ние имеют два определения вероятности события: класси­ческое и статистическое.

Классическое определение вероятности события связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному со­бытию, если появление его влечет за собой появление этого события. Пусть в результате некоторых испытаний наблюдаемые исходы попарно несовместны и равновозможные. За вероятность собы­тия A принимается отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу равно­возможных исходов:

,

где m — число исходов, благоприятствующих событию А, n — общее число возможных, исходов. Из определения следует, что 0_ Р(А) _ 1.

Статистическое определение вероятности связано с понятием частоты события. Частотасобытия A вычисляется по формуле:

,

где m — число случаев появления события А в серии из n испытаний. Из определения следует, что 0_ Р^*(А) _ 1.

С увеличением числа испытаний частота Р^*(А) во мно­гих случаях стабилизируется около некоторой постоянной величины.

При статистическом определении вероятности за веро­ятность события А принимают то число, относительно которого стремится стабилизироваться частота Р^*(А) при увеличении числа испытаний.