Относительная частота и вероятность события

I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (ТВ)

Случайные события

Случайные события (сл.с.). Операции над событиями

В ТВ случайным событием A называют всё то, что может произойти или не произойти при осуществлении некоторого комплекса условий S. Событие наступает в результате различных процессов, которые называются опытами (экспериментами).

Если при реализации данного комплекса условий S событие A всегда произойдёт (никогда не произойдёт), то оно называется достоверным (невозможным).

A, B, C,… – обозначение случайных событий.

W – достоверное событие, Æ – невозможное событие.

Примеры событий:

А– появление герба при бросании монеты;

В – выпадение чётного числа очков при игре в кости;

С– замерзание воды при сильном морозе;

D –выход из строя компьютера после пяти часов работы;

E– в перечне месяцев года после января идёт апрель.

Относительная частота и вероятность события - student2.ru Относительная частота и вероятность события - student2.ru Относительная частота и вероятность события - student2.ru События A, B, Dслучайные, событие Cдостоверное, а событие Eневозможное.

События, не разложимые на более простые, называются элементарными событиями (исходами). Множество всех элементарных исходов wi данного опыта образуют пространство элементарных событийW. Любое событие A можно рассматривать как подмножество W. Так, при бросании игральной кости пространство элементарных событий состоит из шести элементарных исходов:

Относительная частота и вероятность события - student2.ru .

Событие B={выпадение четного числа очков при игре в кости} состоит из трех элементарных исходов –B={2,4,6}, событие
C={выпадение числа очков, кратного 3}={3,6}– из двух элементарных исходов.

Операции над событиями

Суммой событий Относительная частота и вероятность события - student2.ru называется событие, состоящее в наступлении или Относительная частота и вероятность события - student2.ru , или Относительная частота и вероятность события - student2.ru , или обоих событий вместе. Сумму событий обозначают Относительная частота и вероятность события - student2.ru или Относительная частота и вероятность события - student2.ru Союз «или» соответствует сложению.

Событие Относительная частота и вероятность события - student2.ru ( Относительная частота и вероятность события - student2.ru ) обозначает наступление хотя бы одного из событий Относительная частота и вероятность события - student2.ru .

Пример 1.1. В урне шесть шаров, отличающихся только номером Относительная частота и вероятность события - student2.ru . Наугад выбирают один шар. Обозначим событие
Относительная частота и вероятность события - student2.ru . Событие Относительная частота и вероятность события - student2.ru состоит в том, что будет выбран шар с номером 1 или 3, или 5, т.е. шар с нечётным номером.

Произведением событий Относительная частота и вероятность события - student2.ru называют событие B, состоящее в наступлении всех этих событий. Обозначение произведения событий:

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Союз «и» соответствует умножению

Пример 1.2. Есть колода игральных карт. Наугад берут одну карту. Обозначим события A= {вынут туз}, B= {вынута карта красной масти}. Тогда событие C = A∙B означает «вынут туз красной масти».

Разностью событий A и B (обозначается Относительная частота и вероятность события - student2.ru ), называется событие D, состоящее в наступлении события Aи одновременном не наступлении события В. Для предыдущего примера событие
Относительная частота и вероятность события - student2.ru означает, что выбран туз чёрной масти.

Если при каждой реализации комплекса условий S, когда происходит событие A, происходит и событие B, то будем говорить, что A влечёт за собой B, и обозначать этот факт Относительная частота и вероятность события - student2.ru или Относительная частота и вероятность события - student2.ru .

Если имеет место одновременно Относительная частота и вероятность события - student2.ru и Относительная частота и вероятность события - student2.ru , то события Относительная частота и вероятность события - student2.ru называются равносильными. В этом случае пишут Относительная частота и вероятность события - student2.ru .

События Относительная частота и вероятность события - student2.ru называются несовместными, если в результате одного опыта никакие два из них не могут произойти одновременно:

Относительная частота и вероятность события - student2.ru .

Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными. Обозначаются они Относительная частота и вероятность события - student2.ru . При этом Относительная частота и вероятность события - student2.ru Относительная частота и вероятность события - student2.ru . очевидно, что Относительная частота и вероятность события - student2.ru .

Совокупность событий Относительная частота и вероятность события - student2.ru называется полной группой несовместных событий, если

Относительная частота и вероятность события - student2.ru .

Примером полной группы несовместных событий является пространство элементарных событий. Другой характерный пример – пара двух противоположных событий: Относительная частота и вероятность события - student2.ru . Например, выпадение герба и решки при однократном подбрасывании монеты, работоспособность компьютера и его неисправность в данный момент времени, попадание и непопадание в мишень при одном выстреле и т.д.

1.1.В урне 4 красных и 6 белых шаров. Все они пронумерованы от 1 до 10. Урны берут наудачу 1 шар. Событие – шар с чётным номером – обозначим через A, с номером, кратным 3, – через B, шар красного цвета – через C и шар белого цвета – через D. что представляют собой следующие события:

Относительная частота и вероятность события - student2.ru  
Относительная частота и вероятность события - student2.ru  
Относительная частота и вероятность события - student2.ru  
Относительная частота и вероятность события - student2.ru  
Относительная частота и вероятность события - student2.ru  
Относительная частота и вероятность события - student2.ru  

1.2.Докажите равенства:

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

1.3.При каких условиях справедливы следующие соотношения:

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

1.4.Установите, какие из следующих соотношений верны:

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

1.5.Упростите выражения:

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

1.6.На контрольной работе было 3 задачи. Событие – студент решил 1-ую задачу – обозначим через A, решил 2-ую задачу – через B и решил 3-ю задачу – через C. Найти выражения для следующих событий:

а) студент решил только 1-ую задачу;

б) решил только одну задачу;

в) решил только две задачи;

г) решил все задачи;

д) решил, по крайней мере, одну задачу;

е) решил не более двух задач.

Относительная частота и вероятность события

Пусть комплекс условий S воспроизводится n раз, причём событие A наступает m раз.

Число m – частотасобытия A,

число Относительная частота и вероятность события - student2.ru – относительная частота события Aпри этих испытаниях.

Оказывается, что при Относительная частота и вероятность события - student2.ru относительная частота Относительная частота и вероятность события - student2.ru колеблется около некоторой постоянной Относительная частота и вероятность события - student2.ru , называемой вероятностью события A. Тогда относительную частоту можно рассматривать как приближённое значение вероятности: Относительная частота и вероятность события - student2.ru .

События Относительная частота и вероятность события - student2.ru называются равновозможными, если при данном комплексе условий S каждое из них имеет одинаковую возможность наступить.

Пусть пространство элементарных исходов W состоит из nравновозможных несовместных событий Относительная частота и вероятность события - student2.ru ( Относительная частота и вероятность события - student2.ru ), сумма m из которых даёт событие A. Тогда отношение числа m исходов, благоприятствующих появлению события A, к числу n всех равновозможных исходов опыта называется вероятностью события A:

Относительная частота и вероятность события - student2.ru . (1.1)

Формула (1.1) называется классическим определением вероятности. Числовая функция Относительная частота и вероятность события - student2.ru удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Вероятность достоверного события равна единице: Относительная частота и вероятность события - student2.ru ;

2. Вер-ть невозможного события равна нулю: Относительная частота и вероятность события - student2.ru ;

3. Вер-ть Относительная частота и вероятность события - student2.ru любого события есть неотрицательное число, заключённое между 0 и 1 : Относительная частота и вероятность события - student2.ru ;

4. Веро-ть суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: Относительная частота и вероятность события - student2.ru .

Пример 1.3. Из 5000 взятых наугад деталей 43 оказались бракованными. Найти относительную частоту бракованных деталей в данной партии.

Решение. Событие A – появление бракованной детали. Произведено Относительная частота и вероятность события - student2.ru испытаний, причём событие A наступило Относительная частота и вероятность события - student2.ru раза. Поэтому искомая относительная частота
Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Пример 1.4. В урне 2 белых, 3 зелёных и 5 красных шаров, не различимых на ощупь. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что он красный?

Решение. Число всех исходов опыта Относительная частота и вероятность события - student2.ru , число благоприятных исходов Относительная частота и вероятность события - student2.ru . Тогда искомая вероятность

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Пример 1.5.В данном пособии 100 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 7?

Решение. Обозначим событие A={номер страницы кратен 7}. Из условия задачи следует, что пространство элементарных событий состоит из Относительная частота и вероятность события - student2.ru исходов. Из них благоприятствует событию A Относительная частота и вероятность события - student2.ru исходов, т.к. номер, кратный 7, имеет вид Относительная частота и вероятность события - student2.ru где Относительная частота и вероятность события - student2.ru – натуральное число Относительная частота и вероятность события - student2.ru . Поэтому искомая вероятность

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Элементы комбинаторики

При вычислении вероятностей важную роль играют методы комбинаторики. Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчинённых определённым условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий можно выполнить Относительная частота и вероятность события - student2.ru способами.

Рассмотрим опыт, состоящий в выборе наудачу одного за другим mшаров из nпронумерованных шаров, содержащихся в урне. Этот опыт будем называть выборкой с возвращением, если после каждого извлечения шар возвращается обратно и, следовательно, может участвовать в дальнейшем отборе. В противном случае мы имеем выборку без возвращения. Номера выбранных шаров образуют множество, состоящее из m натуральных чисел. Если важен порядок следования этих чисел в процессе отбора, то полученное множество называется упорядоченным. В противном случае – неупорядоченным.

1) Если из n пронумерованных шаров выбирают m с возвращением, то различных упорядоченных выборок будет nm.
Пример. Сколько различных пар чисел может быть, если игральную кость подбросили 2 раза (3 раза)?

2) Если осуществляется выбор без возвращения, то при этом упорядоченное множество называется размещением из n элементов по m, их число обозначают Относительная частота и вероятность события - student2.ru :

Относительная частота и вероятность события - student2.ru .

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры в числе не повторяются? Повторяются?

При Относительная частота и вероятность события - student2.ru размещения называются перестановками. Их число обозначают Относительная частота и вероятность события - student2.ru :

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Если при выборе без возвращения рассматривают неупорядоченные множества, то последние называются сочетаниями. Их число обозначают Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Следует отметить свойства сочетаний: проверить свойства для n=4, m=3

1. Относительная частота и вероятность события - student2.ru ;

2. Относительная частота и вероятность события - student2.ru ;

3. Относительная частота и вероятность события - student2.ru ;

4. Относительная частота и вероятность события - student2.ru ;

5. Относительная частота и вероятность события - student2.ru .

Пример 1.6. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 6 цифр. Как велика вероятность, что в нём:

а) все цифры различные;

б) все цифры нечётные?

Решение. а) На первом месте в шестизначном телефонном номере может стоять любая из цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а на всех остальных местах может стоять любая из этих же цифр или ноль. Поэтому всего шестизначных номеров Относительная частота и вероятность события - student2.ru . Число номеров, у которых все цифры различные, найдем с помощью размещений. При этом учтём, что первая цифра в шестизначном телефонном номере не может быть нулём:

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

б) Из 5 нечётных цифр (1, 3, 5, 7, 9) можно образовать Относительная частота и вероятность события - student2.ru различных шестизначных номеров. Относительная частота и вероятность события - student2.ru это число благоприятствующих исходов. Тогда искомая вероятность

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Пример 1.7. В купе железнодорожного вагона один напротив другого стоят два дивана, на каждом из которых по пять мест. Из десяти пассажиров четверо желают сидеть лицом к электровозу, а трое – спиной к нему. Чему равна вероятность, что данные два пассажира, которым безразлично, где сидеть, окажутся рядом?

Решение. Сначала найдем число всех возможных размещений пассажиров в купе. Пусть A, B, C – пассажиры, которым безразлично, где сидеть. Если A сядет лицом к электровозу, то на диване вместе с ним еще четверо пассажиров могут сесть 5! Способами (перестановки из пяти элементов). Остальные пассажиры на противоположном диване также могут сесть 5! Способами. Таким образом, если A выбрал первый диван, то все пассажиры могут сесть (5!)2 способами. Такое же число способов мы получим, если на первом диване будет не A, а B или C. Тогда число всех равновозможных исходов 3(5!)2.

Благоприятствовать наступлению интересующего нас события будут исходы, когда данные два пассажира, например A и B, будут сидеть рядом. Это возможно, только если A и B сидят спиной к электровозу. Таких случаев будет Относительная частота и вероятность события - student2.ru . поэтому искомая вероятность

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

1.7.Французский естествоиспытатель XVIII в. Ж. Л. Бюффон при экспериментальной проверке закона больших чисел подбросил монету 4040 раз, в результате чего герб выпал 2048 раз. Найти относительную частоту выпадения герба в данном эксперименте.

1.8.Относительная частота родившихся мальчиков среди 2000 новорожденных равна 0,516. Сколько всего мальчиков?

1.9.Считая выпадение любой из граней игральной кости одинаково вероятным, найти вероятность выпадения грани: а) с чётным числом очков; б) с числом очков, кратным трём.

1.10.Слово АНАНАС разрезали на карточки, перевернули буквами вниз и перемешали. Карточки выбирают наугад по одной и выкладывают в ряд. Какова вероятность, что при этом получится слово АНАНАС?

1.11.Какова вероятность, что в марте наугад названного года окажется 4 воскресенья?

1.12.Из партии, в которой 32 детали без дефекта и 6 с дефектом, наудачу взяли 3 детали. Чему равны вероятности следующих событий: а) все 3 детали без дефекта; б) по крайней мере одна деталь без дефекта?

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

Относительная частота и вероятность события - student2.ru

1.13.Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что: а) произведение выпавших очков окажется равным 12; б) сумма выпавших очков не меньше 7; в) произведение выпавших очков равно 12, а сумма равна 7?

Ответы 1.7.0,5069. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 0,5714. Указание среди первых 28 дней января всегда 4 воскресенья. следовательно в январе не будет больше воскресений, если их не будет 29, 30 и 31 числа. Последнее возможно, когда на число 29 выпадает понедельник, вторник, среда или четверг, p=4/7. 1.12. 1.13. 1/9. Остальное прорешать и поместить ответы в конце пособия.

Наши рекомендации