Расчет однофазных линейных электрический цепей переменного тока.

К зажимам электрической цепи подключен источник синусоидального напряжения u=U_msin(ωt+ψ_u) частотой f=50 Гц. Амплитуда, начальная фаза напряжения и параметры элементов цепи заданы в таблице 2.1. Схема замещения цепи приведена на рис. 2.1.

Выполнить следующее:

1) начертить схему замещения электрической цепи, соответствующую варианту, рассчитать реактивные сопротивления элементов цепи;

2) определить действующие значения токов во всех ветвях цепи; 3) записать уравнение мгновенного значения тока источника; 4) составить баланс активных и реактивных мощностей; 5) построить векторную диаграмму токов, совмещенную с

топографической векторной диаграммой напряжений.

Таблица. 2.1. Исходные данные

Um, В ψu, град	R1, Ом	R2, Ом	L1, мГн L2, мГн	C1, мкФ C2, мкФ
					31,8	50,9
		a	I1	a			a
				I2		I	R2
						3
		U			L1	С2	b
						L2
			С1			I4
					R1
		e		d			c

Рис.2.1. Схема замещения электрической цепи.

Решение.

2.1. Схема замещения электрической цепи представлена на рис. 2.1. Определим реактивные сопротивления элементов цепи:

= 2 f =2×3,14×50=314рад/с;

X _L1= L₁=314×31,8×10^-3=10Ом;

X _L2= L₂=314×50,9×10^-3=16Ом;

Лист

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

XС1

= 1 =

= 10 Ом;

С1

314 × 318 ×10-6

XС 2

= 1 =

= 16 Ом.

С2

314 ×199 ×10-6

2.2. Определим комплексные сопротивления ветвей цепи (рис. 2.2):

I1

U

Z 2

I2

I3

Z 4

I4

Z 1

Z 3

Рис.2.2. Схема с комплексными сопротивлениями.

Z1= - jX C1= - j10=10e- j90° Ом;

Z 2= jX L1= j10=10e j90°Ом;

Z 3= - jX C 2= - j16=16e- j90° Ом;

Z

= R

+ R

+ jX

L2

= 10 + 20 + j16 = 30 + j16 = 34e j28,1°

Ом.

Находим комплексное сопротивление параллельного участка цепи:

Z 234

=

=

=

+

+

+

+

Z 2

Z 3

Z 4

10e j

90°

16e- j90°

34e j28,1°

=

0,1e- j90° + 0,0625e j90° + 0,0294e- j28,1° =

- j0,1+ j0,0625+0,0259- j0,0138

=

=

=

= 17,39e j63,2° = 7,84 + j15,52 Ом.

0,0259 - j0,0513

0,0575e- j63,2°

Находим эквивалентное сопротивление всей цепи:

Z экв

= Z1+ Z 234= - j10+7,84+ j15,52=7,84+ j5,52=9,59e j35,1° Ом.

Запишем комплекс действующего значения напряжения на входе цепи:

Um

× e

j u

=

e

j60°

= 38,18e

j60°

В.

U

=

Лист

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Определим комплексные значения токов ветвей цепи, воспользовавшись законом Ома:

38,18e

j60°

I1

=

U

=

=3,98e j24,9°

= 3,61 + j1,68 А;

Z экв 9,59e j35,1°

j24,9°

×17,39e

j63,2°

= 69,21e

j88,1°

В;

U2= U3

= U

4 = U234

= I1× Z 234=3,98e

69,21e

j88,1°

I2

=

U2

=

= 6,92e- j1,9° = 6,92 - j0,23 А;

Z 2

10e j90°

69,21e

j88,1°

I3

=

U3

=

=4,33e j178,1°

= -4,33 + j0,14 А;

Z 3

16e- j90°

69,21e

j88,1°

I4

=

U4

=

= 2,04e j60° = 1,02 + j1,77 А.

Z 4

34e j28,1°

2.3. Запишем уравнение для мгновенного значения тока источника:

i₁(t)=3,98 2 sin(314t + 24,9°) = 5,63sin(314t + 24,9°) А.

2.4. Составим баланс активных и реактивных мощностей.

Находим мощность источника:

~	*	= 38,18e	j60°	× 3,98e	- j24,9°	= 151,96e	- j35,1°	=124,32 + j87,38 ВА,
Sист	= U × I
т.е. Pист = 124,32 Вт,	Qист = 87,38 вар.

Находим активную P_пр и реактивную Q_пр мощности приемников:

P_пр = I₄²(R₁+ R₂)=2,04²×(10+20)=124,85Вт;

Q_пр = I₁²(- X _C1)+ I₂² X _L1+ I₃²(- X _{C 2})+ I₄² X _L2=3,98²×(-10)+6,92²×10+

+ 4,33² × (- 16) + 2,04² ×16 = 87,06 вар.

Т.к. P_ист ≈ P_пр, Q_ист ≈ Q_пр, то баланс мощностей получился.

2.5. Определим напряжения на элементах схемы замещения цепи.

U_C1= I₁× X_C1=3,98×10=39,8В;

U _L1= I₂× X _L1=6,92×10=69,2В;

U_C2= I₃× X_{C 2}=4,33×16=69,28В;

U _R1= I₄× R₁=2,04×10=20,4В;

U _R2= I₄× R₂=2,04×20=40,8В;

U _L2= I₄× X _L2=2,04×16=32,64В.

Лист

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

Задаемся масштабами по току и напряжению:

M_I = 1 А/см, М_U = 5 В/см.

Определяем длины векторов токов и напряжений:

I1

=

I1

=

3,98

= 3,98 см;

M I

I 2

=

I2

=

6,92

= 6,92 см;

M I

I 3

=

I3

=

4,33

= 4,33 см;

M I

I 4

=

I4

=

2,04

= 2,04 см;

M I

U =

U

=

38,18

= 7,64 см;

MU

U C1

=

UC1

=

39,8

= 7,96 см;

MU

U L1

=

U L1

=

69,2

= 13,84 см;

MU

U C 2

=

UC2

=

69,28

= 13,86 см;

MU

U R1

=

U R1

=

20,4

= 4,08 см;

MU

U R 2

=

U R2

=

40,8

= 8,16 см;

MU

U L2

=

U L2

=

32,64

= 6,53 см.

MU

Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической диаграммой напряжений, построена на рис. 2.3.

На комплексной плоскости откладываем в масштабе векторы токов, в соответствии с расчетными значениями, при этом положительный фазовый угол отсчитываем от оси (+1) против часовой стрелки. Построение векторов напряжений ведем, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжений относительно соответствующих векторов токов: на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90^о, а на емкостном напряжении отстает от тока на 90^о.

Лист

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

	+j	a
	UR2
	U	UL1=UC2
	I4	I1
I3	e
b	+1
	UL2	I2
	UC1	c
		UR1
		d
Рис.2.3. Векторная диаграмма.

Лист

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата