Метод Гаусса вычисления определенных интегралов
Квадратурные формулы интерполяционного типа
Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
, (3.25)
где заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид
, (3.26)
где и числа, .
В отличие от предыдущего параграфа не будем разбивать отрезок на частичные отрезки, а получим квадратурные формулы путем замены интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность таких формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Рассмотренные в п. 3.1 формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда , .
Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа. Пусть на отрезке заданы узлы интерполирования , . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на .
Функцию будем заменять интерполяционным полиномом Лагранжа (см. лекция 2, формула (2.4))
,
Часто выражение записывают в другом виде. Введем многочлен степени
и вычислим его производную в точке :
Тогда получим, что
Заменяя в интеграле (3.25) функцию интерполяционным многочленом Лагранжа
, (3.27)
получим приближенную формулу (3.26) (доказать, дом. зад. №4), где
, . (3.28)
Таким образом, формула (3.26) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (3.28).
Метод Гаусса вычисления определенных интегралов
В предыдущем параграфе предполагалось, что узлы квадратурных формул заданы заранее. Можно показать, что если использовать узлов интерполяции, то получим квадратурные формулы, точные для алгебраических многочленов степени . Оказывается, что за счет выбора узлов можно получить квадратурные формулы, которые будут точными и для многочленов степени выше . Рассмотрим следующую задачу: построить квадратурную формулу
, (3.29)
которая при заданном была бы точна для алгебраического многочлена возможно большей степени. Здесь для удобства изложения нумерация узлов начинается с .
Такие квадратурные формулы существуют. Они называются формулами Гаусса. Эти формулы точны для любого алгебраического многочлена степени .
Итак, потребуем, чтобы квадратурная формула (3.29) была точна для любого алгебраического многочлена степени . Это эквивалентно требованию, чтобы формула была точна для функций , . Отсюда получаем условия
, , (3.30)
которые представляют собой нелинейную систему уравнений относительно неизвестных
.
Для того, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, надо потребовать .
При рассмотрении квадратурных формул (3.29) общего вида, введем многочлен
. (3.31)
Будем полагать, что .
Теорема 1. Квадратурная формула (3.29) точна для любого многочлена степени тогда и только тогда, когда выполнены два условия:
1. Многочлен ортогонален с весом любому многочлену степени меньше , т.е.
. (3.32)
2. Формула (3.29) является квадратурной формулой интерполяционного типа, т.е.
, . (3.33)
Без доказательства.
Использование теоремы 1 существенно упрощает построение формул Гаусса.
Условие (3.32) эквивалентно требованиям
, , (3.34)
которые представляют собой систему уравнений относительно неизвестных . Таким образом, для построения формул Гаусса достаточно найти узлы из соотношений ортогональности (3.34) и затем вычислить коэффициенты согласно (3.33).
Рассмотрим несколько частных случаев, когда решение системы (3.34) можно найти непосредственно.
Пусть , , . При получаем и
, ,
, .
(получить решение, дом. зад. №4).