Математическая статистика.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА»

ФГОУВПО «РГУТиС»

Кафедра МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

(название кафедры)

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе,

д.э.н., профессор

_________________________Новикова Н.Г.

«_____»_______________________200__г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

(ЧАСТЬ 5)

для студентов очной, заочной формы обучения и по форме экстернат

Дисциплина

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

(название дисциплины)

Для всех специальностей

Москва 2008 г.

Методические указания по выполнению контрольных работ составлены на основании рабочих программ дисциплины

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

(название дисциплины)

Методические указания по выполнению контрольных работ рассмотрены и утверждены на заседании кафедры МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

(название кафедры)

Протокол № 9 «22» апреля 2008г.

Зав кафедрой к.т.н. доцент, Щиканов А.Ю.

Методические указания по выполнению контрольных работ одобрены Учебно-методическим советом ФГОУВПО «РГУТиС»

Протокол № ________ «____»_______________200_г.

Методические указания по выполнению контрольных работ разработаны:

Преподаватели кафедры

Математика и информатика

(название кафедры)

доцент Белов Б.А.,

Согласовано:

Зам. проректора - начальник

Учебно-методического управления к.э.н., доцент Дуборкина И.А

Начальник

Методического отдела Рыженок Н.В.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Справочный материал.

Случайные события:

- вероятность события P(A) = , n – число всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания, а m – число исходов благоприятствующих появлению события А;

Pn= n! - число перестановок n различных элементов

( n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ∙ n, при этом 0! = 1 );

число размещений m различных элементов в n местах

(m ≤ n);

число сочетаний по m элементов из n различных

элементов ( m ≤ n, );

А + В – это событие, состоящее в появлении А или В или А и В вместе;

А ∙ В – это событие, состоящее в появлении А и В вместе;

– это событие противоположное А;

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) для несовместных событий А и В;

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) − Р(А∙В) для совместных событий А и В;

Р(А∙В) = Р(А) ∙ Р(В) для независимых событий А и В;

Р(А∙В) = Р(А)∙Р для зависимых событий А и В, где Р – условная вероятность появления события В при условии, что событие А

уже появилось;

формула Бернулли для вычисления вероятности появления события А ровно раз в серии из n испытаний, при этом

Р(A) = p в каждом испытании, Р( ) = q, p + q = 1;

Р(А) = - формула полной вероятности, при этом гипотезы Hiобразуют полную группу событий, то есть они попарно

независимы и , а событие А происходит только с одной из гипотез Hi;

- формула Байеса для вычисления вероятности гипотезы Нк при условии, что событие А произошло.

Случайные величины.

Дискретная случайная величина (ДСВ):

X принимает изолированные числовые значения x1, x2 , .... ;

- ряд распределения ДСВ – это таблица вида:

xi	x1	x2	....
Pi	P1	P2	...

при этом

- многоугольник распределения – это ломаная, соединяющая точки ( );

- интегральная функция F(x) = P(X < x) = F(a) + P(a ≤ X < x) представляет собой ступенчатую кривую;

- математическое ожидание ДСВ определяется формулой ;

- свойства: M(С) = C, M(hX + C) = h ∙M(X) + C;

- дисперсия D(X) = M(X − M(X))² = M(X²) − M²(X);

- расчетные формулы: D(X) ;

- свойства: D(X) ≥ 0, D(0) = 0, D(h∙X + c) = h² ∙D(X);

- среднее квадратическое отклонение ;
Основные виды распределений ДСВ.

1. Геометрическое: X = k = 1, 2, 3...

,

2. Распределение Бернулли (биноминальное): X = k = 0, 1, 2, ..... , n

M(X) = n ∙ p, D(X) = n ∙ p ∙ q, ;

3. Распределение Пуассона: X = k = 0, 1, 2, ... , n

M(X) = a, D(X) = a,

Непрерывная случайная величина (НСВ):

X принимает числовые значения ;

- плотность (дифференциальная функция) распределения вероятностей:

- интегральная функция распределения:

F(x) = P(X < x) = , при этом ;

- вероятность попадания НСВ в интервал

P(α < X < β) = F(β) – F(α) =

- математическое ожидание M(X) =

- дисперсия D(X)

- среднее квадратическое отклонение .

Основные виды распределений НСВ:

1. Равномерное распределение в интервале (a, b)

при

при

при

при

при a x b,

при ,

M(X) = D(X) = , ;

1. Показательное распределение

при

при

при

при

M(X) = , D(X) = ,

2. Нормальное распределение

F(x) = 0.5 + Ф( ), где Ф(z) = – функция Лапласа (ее значения имеются в приложениях учебников по теории вероятностей);

M(X) = a, D(X) = , ,

P(α < X < β) = Ф – Ф .

Примеры.

1. Из разрезной азбуки сложено слово МАМА, затем рассыпано и сложено случайным образом. Найти вероятность того, что снова получится слово МАМА.

P = , n = P4= 4! = 24, m = 2! ∙ 2! = 4 => P = = = 0.17.

2. Четыре человека, среди которых двое знакомых, случайным образом рассаживаются в ряд, состоящий из шести стульев. Какова вероятность того, что знакомые окажутся рядом сидящими?

n = , m = (4∙2 + 2) ∙ = P = = . 3. Из группы, состоящей из 4 студенток и 7 студентов, случайным образом отбираются 5 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется ровно 2 студентки?

, .

4. Из урны, в которой находятся 5 красных, 2 синих и 4 желтых шара наудачу без возвращения в урну извлекаются:

1. 7 шаров. Найти вероятность того, что среди этих шаров окажется ровно 3 красных;

2. 2 шара. Найти вероятность того, что:

а) это будут желтые шары;

б) эти шары будут одного цвета;

в) эти шары будут разного цвета;

г) среди этих шаров будут хотя бы один красный;

3. 3 шара. Найти вероятность того, что:

а) эти шары будут одного цвета;

б) эти шары будут разных цветов;

в) взятый из них наудачу один шар окажется желтым;

4. 2 шара и они оказались одного цвета. Найти вероятность того, что это красные шары.

Решение.

1. В урне 5 красных и 6 некрасных шаров

.

2. a) P(ж и ж) = = 0.11.

б) P(к и к или с и с или ж и ж) =

в) Для двух шаров событие «шары разного цвета» противоположно

событию «шары одного цвета» => P(в) = 1 − P(б) = 1 – 0.31 = 0.69.

г) Считаем, что в урне 5 красных и 6 некрасных шаров и найдем

P(A) = 1 – P( ) = 1 – P(н и н) = .

3. а) Р(к и к и к или с и с и с или ж и ж и ж) = = 0.085.

б) P(к, ж, с) = = 0.24

Примечание. Множитель 3! Соответствует числу перестановок 3-х элементов.

в) Решим задачу по формуле полной вероятности. В урне находятся 4 желтых и 7 нежелтых шаров. Событие А – желтый шар из 3-х.

Гипотезы: H1– 3 желтых шара;

H2 – 2 желтых и 1 нежелтый;

H3 − 1 желтый и 2 нежелтых;

H4 – 3 нежелтых.

Контроль

4. Считаем, что в урне 5 красных и 6 некрасных шаров. Событие А – шары одного цвета.

Гипотезы:

Н₁ – 2 красных шара;

Н₂ – 2 некрасных шара;

Н₃ – 1 красный и 1 некрасный.

Надо найти . По формуле Байеса .

Контроль

5. В урне находятся 5 красных и 8 синих шаров. Шар извлекается и возвращается в урну 4 раза. Найти вероятность того, что красный шар появится:

а) ровно 3 раза; б) не менее 2-х раз.

Для решения задачи применяем формулу Бернулли ,

а)

б)

6. Из урны, содержащей 7 синих и 8 желтых шаров наудачу извлекаются 4 шара. Построить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины равной числу синих шаров среди извлеченных 4-х шаров.

Значение случайной величины

Найдем их вероятности:

Проверим свойство ряда: .

Xk
Pk

Итак, ряд распределения Х :

Математическое ожидание

7. Дискретная случайная величина Х с известным математическим ожиданием М(Х) = 3.7 задана рядом распределения:

Xi
Pi	0.1	р2	0.2	р4	0.2

Требуется:

а) найти p₂ и p₄;

б) построить многоугольник распределения;

в) построить интегральную функцию F(x) и ее график;

г) вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение:

а) найдем из условий и

Получим систему уравнений:

Xi	− 6	− 1
Pi	0.1	0.1	0.2	0.4	0.2

.

б) для ряда распределения:

строим многоугольник распределения:

в) интегральную функцию строим с помощью свойства :

при
при
при
при
при
при

г) дисперсия .

(по условию) и

среднее квадратическое отклонение .

8. Задана дифференциальная функция (плотность) распределения

Найти:

а) параметр ;

б) интегральную функцию ;

в) математическое ожидание и дисперсию ;

г) вероятность события .

Решение:

а) из условия

тогда

б)

При построении воспользуемся свойством

.

При
при
при	.

в) .

г) .

9. На запуск двигателя тратится в среднем 2.5 попытки. Считая, что вероятность запуска в каждой попытке одинакова, найти вероятность запуска двигателя не более, чем за 3 попытки.

Здесь имеет место геометрическое распределение случайной величины Х равной числу попыток до запуска двигателя, причем . Тогда из и .

10. Случайная величина Х имеет биномальное распределение (распределение Бернулли) с математическим ожиданием и дисперсией . Найти вероятность события .

Для биномального распределения ,

получим систему уравнений:

, тогда и .

Искомую вероятность находим с помощью формулы Бернулли.

11. Для случайной величины Х, имеющей распределение Пуассона вероятность события равна 0.4. Найти вероятность события .

Из формулы для ,

Тогда

12. Случайная величина Х имеет равномерное распределение в интервале , причем и . Найти вероятность события .

Для равномерного распределения , .

По условию

. Для и интегральная функция имеет вид:

13. Случайная величина Х имеет показательное распределение и при этом численно . Найти вероятность события .

Из формул , или .

Тогда и интегральная функция будет:

14. Методами математической статистики установлено, что для данного региона роста призывников в ряды вооруженных сил имеют нормальное распределение с параметрами . Найти ожидаемое число призывников 3-го роста из 1000 человек.

Отметим, что третий рост соответствует интервалу (167, 173).

По формуле получим

Тогда ожидаемое число призывников третьего роста

человек.

Примечание: значения и взяты из таблицы значений функции Лапласа .

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

Справочный материал.

Одномерная выборка.

Способы формирования выборки:

- интервальный вариационный ряд – это таблица

			. . .
			. . .

;

- шаг вариации, - частоты попадания признака Х в диапазон , - объем выборки;

- гистограмма плотностей относительных частот

- это графическое представление интервального вариационного ряда вида:

, где ;

			. . .
			. . .

- дискретный вариационный ряд – это таблица:

где , ;

- полигон относительных частот - это графическое представление дискретного вариационного ряда вида:

, где .

Числовые характеристики выборки:

- среднее выборочное , при этом ;

- выборочная дисперсия , при этом ;

- выборочное среднее квадратическое отклонение , при этом ;

- критерий Пирсона для проверки статистической гипотезы о виде закона распределения , где - теоретические частоты, найденные с учетом выбранного закона распределения генеральной совокупности .

Двумерная выборка:

- исходные данные формируются в виде корреляционной таблицы:

			. . .
			. . .
			. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
			. . .
			. . .

, - шаги вариации,

- объем выборки;

- коэффициент корреляции

оценивает тесноту линейной корреляционной зависимости;

- линейное уравнение регрессии на , а

на .

Примечание: коэффициент корреляции не изменяется при линейных заменах переменных х и у.

Примеры.

1. Выборка объемом измерений задана интервальным вариационным рядом:

Требуется:

а) построить гистограмму плотностей относительных частот ;

б) перейти к дискретному вариационному ряду и построить полигон относительных частот ;

в) вычислить среднее выборочное и среднее выборочное квадратическое отклонение ;

г) при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности Х.

Решение:

а) , - плотности относительных частот:

	0,14	0,23	0,38	0,26	0,19	0,06

Гистограмма плотностей относительных частот :

б) принимая середины интервалов за значения вариант , получим дискретный вариационный ряд:

	2.7	3.5	4.3	5.1	5.9	6.7
	0.11	0.18	0.3	0.21	0.15	0.05

, .

Полигон относительных частот :

в) для расчета и сделаем преобразование , примем за ложный ноль . Тогда - условные варианты.

Найдем условные характеристики: , , , затем с помощью обратного преобразования найдем и . Для вычисления сумм и применим метод произведений и найдем эти сумм с помощью таблицы:

i

Контроль вычислений: с одной стороны , с другой

стороны

вычисления верны.

С помощью свойств и получаем:

г) для расчета теоретических частот применим приближенную формулу , где , а .

Примечание: точная формула теоретических частот для нормального распределения

, где , , предполагает использование таблиц значений функций Лапласа

Значения и берем из предыдущего пункта , .

	2.7		7.25
	3.5		19.08
	4.3		29.02
	5.1		25.45
	5.9	1.29	12.91
	6.7	2.03	3.78

Наблюдаемое значение критерия найдем в таблице:

		7.25	1.94
		19.08	0.06
		29.02	0.03
		25.45	0.78
		12.91	0.34
		3.78	0.39

Суммируя последний столбец, получим , критическое значение берем из таблицы приложений для уровня значимости и числе степеней свободы (здесь - число вариант, - число параметров нормального закона распределения). .

Так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

2. Двумерная выборка совместных измерений признаков X и Y объемом N = 100 задана корреляционной таблицей: