Математическая статистика
Вопросы к зачету по математике (2-й курс, 1-й семестр)
Ряды
- Понятие числового ряда. Сумма ряда.
- Гармонический ряд.
- Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии.
- Свойства сходящихся рядов.
- Необходимое условие сходимости ряда. Признак расходимости ряда.
- Признак сравнения для знакоположительного ряда.
- Предельный признак сравнения для знакоположительного ряда.
- Признак Даламбера.
- Радикальный признак Коши.
- Интегральный признак Коши.
- Признак сходимости для знакопеременного ряда. Теорема Коши.
- Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда.
- Степенной ряд. Теорема Абеля
- Радиус сходимости степенного ряда.
- Область сходимости обобщенного степенного ряда.
- Свойства сходящихся степенных рядов.
- Разложение функций в ряд Маклорена.
- Разложение функций в ряд Тейлора.
- Критерий сходимости для ряда Маклорена.
- Разложение функций , , , , , в ряды Маклорена.
- Приложения степенных рядов: вычисление значений функций, вычисление определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений.
Теория вероятностей
- Пространство элементарных событий. Классификация событий.
- Операции над событиями.
- Относительная частота появления события, ее свойства.
- Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство.
- Классический (лапласовский) метод задания вероятностей.
- Геометрический метод задания вероятностей.
- Статистический метод задания вероятностей.
- Упорядоченный и неупорядоченный выбор без возвращения.
- Упорядоченный и неупорядоченный выбор с возвращением..
- Свойства вероятностной меры.
- Теорема сложения вероятностей.
- Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- Зависимые и независимые события. Критерий независимости событий.
- Вероятность появления хотя бы одного события.
- Формула полной вероятности.
- Формулы Байеса.
- Схема Бернулли. Формула Бернулли.
- Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли.
- Наивероятнейшее число появления события А в последовательности независимых испытаний.
- Формула Пуассона.
- Интегральная и локальная теоремы Муавра-Лапласа.
- Вероятность отклонения относительной частоты появления события А от постоянной вероятности.
- Функция распределения СВ и ее свойства.
- Дискретная СВ, закон распределения, его свойства.
- Непрерывная СВ, плотность распределения вероятностей, ее свойства и вероятностный смысл.
- Вероятность попадания непрерывной СВ в заданный интервал.
- Функции преобразования СВ.
- Математическое ожидание одномерной СВ, его вероятностный смысл.
- Свойства математического ожидания одномерной СВ.
- Дисперсия одномерной СВ, ее свойства. Среднее квадратичное отклонение.
- Обобщенные числовые характеристики СВ. Моменты распределения СВ.
- Двухточечное распределение Бернулли, его числовые характеристики.
- Биномиальное распределение, его числовые характеристики.
- Распределение Пуассона, его числовые характеристики.
- Равномерное распределение, его числовые характеристики.
- Экспоненциальное распределение, его числовые характеристики.
- Нормальное распределение, его числовые характеристики.
- Функция плотности нормально распределенной СВ. Кривая Гаусса.
- Функция Лапласа. Ее связь с функцией распределения нормально распределенной СВ.
- Вероятность попадания нормально распределенной СВ в заданный интервал.
- Вероятность отклонения нормально распределенной СВ от своего м.о.
- Правило трех сигм.
- Дискретная двумерная СВ, ее закон распределения.
- Маргинальные законы распределения составляющих.
- Функция распределения двумерной СВ, ее свойства.
- Вероятности попадания двумерной СВ в прямоугольные области.
- Плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной СВ, ее свойства, вероятностный смысл.
- Вероятность попадания двумерной СВ в произвольную область.
- Маргинальные функции распределения составляющих двумерной СВ.
- Маргинальные функции плотностей составляющих двумерной СВ.
- Зависимые и независимые СВ. Критерий независимости.
- Условные распределения составляющих непрерывной двумерной СВ.
- Условные распределения составляющих дискретной двумерной СВ.
- М.о. и условное м.о. составляющих двумерной СВ.
- Дисперсия составляющих двумерной СВ
- Ковариация (корреляционный момент) и ее свойства.
- Коэффициент корреляции и его свойства.
- Неравенство Маркова.
- Неравенства Чебышева.
- Теорема Чебышева. Закон больших чисел.
- Закон больших чисел в форме Бернулли. Теорема Бернулли.
- Центральная предельная теорема Ляпунова.
Математическая статистика
- Генеральная совокупность, выборка. Вариационные статистические ряды, их графическое представление.
- Числовые характеристики выборки.
- Точечные оценки параметров распределения, их свойства. Метод моментов для построения точечных оценок.
- Точечная оценка м.о. нормально распределенной СВ.
- Точечная оценка среднего квадратичного отклонения нормально распределенной СВ.
- Интервальные оценки параметров. Доверительная вероятность, доверительный интервал.
- Доверительный интервал для м.о. нормально распределенной СВ при известном среднем квадратичном отклонении.
- Доверительный интервал для м.о. нормально распределенной СВ при неизвестном среднем квадратичном отклонении, доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения.
- Статистические гипотезы, статистические критерии. Уровень значимости критерия, мощность критерия. Методика проверки статистической гипотезы.
- Критерий согласия Пирсона , его смысл и методика применения.
- Виды зависимостей между СВ. Корреляционная таблица, корреляционное поле.
- Условные средние. Эмпирические уравнения регрессии.
- Метод наименьших квадратов для нахождения параметров линейного выборочного уравнения регрессии.
- Выборочный коэффициент корреляции, его свойства.
- Критерий Стьюдента для проверки значимости выборочного коэффициента корреляции.