Определение положения центра тяжести сложной фигуры

Для определения координат центра тяжести сложной фигуры выбирается произвольная система координат хоу (рис. 2.2). Сложное сечение разбивается на простые фигуры, для которых известно значение величины площади F_i и положение координат центра тяжести X_ci и Y_ci. i =1, 2, 3…n. Координаты центра тяжести всей фигуры определяются по формулам (2.1 и 2.2).

(2.1)

(2.2)

Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Для произвольной фигуры площадью F известны моменты инерции относительно центральных осей х₀ и у₀: , рис. 2.3.

Соответствующие осевые и центробежный момент инерции относительно новых осей х и у, которые параллельны осям х₀, у₀ можно определить с помощью формул (2.3, 2.4, 2.5):

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Переносить можно только центральные оси инерции.

Зависимость между моментами инерции при повороте осей координат

Известны моменты инерции относительно осей х₀ и у₀ - I_x0, I_y0, I_x0,y0 (рис.2.4).

Осевые и центробежный момент инерции относительно новых осей х₁ и у₁, повернутых относительно исходной системы координат на угол α, можно определить по формулам (2.6, 2.7, 2.8).

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Центральные оси инерции – оси, проходящие через центр тяжести сечения.

Главные оси инерции – оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0.

Главные центральные оси инерции – главные оси, проходящие через центр тяжести сечения.

Для моментов инерции относительно осей х, у и х₁ и у₁ справедливо соотношение

(2.9)

Главные моменты инерции

Моменты инерции относительно осей 1 и 2, для которых I_1,2=0, называются главными и определяются по формуле (2.10). Для I₁ перед корнем берется знак (+), для I₂ (–) (рис. 2.5).

(2.10)

Моменты инерции относительно главных осей обладают свойством экстремальности:

I₁ = I_max I₂ = I_min. (2.11)

Положение главных осей инерции

Положение главных осей инерции (рис. 2.5) можно определить по формуле (2.12) или (2.13).

(2.12)

Положение главных осей инерции 1 и 2 можно найти и так:

(2.13)

угол α₁ соответствует оси 1, угол α₂ – оси 2. Отсчет углов α₁ и α₂ ведется от положительного направления оси х.

2.7. Моменты сопротивления W_x, W_y

Осевые моменты сопротивления W_x, W_y используются для подбора поперечных сечений балок при изгибе (рис. 2.6):

(см³) (см³) (2.14)

у_max и х_max – соответственно расстояния от осей х и у до наиболее удаленных точек сечения.

Радиусы инерции сечения i_x и i_y находятся из выражения (2.15):

(см²) (см²) (2.15)

Растяжение (сжатие)

Напряжения и деформации

Растяжение (сжатие) – деформация, при которой все равнодействующие всех сил лежат на одной оси, совпадающей с продольной осью стержня (рис.3.1). Внутреннее усилие N_z определяется с использованием метода сечений.

ΣF_z = 0: N_z = P (3.1)

N_Z – продольное усилие.

Нормальное напряжение при растяжении определяется:

(3.2)

Условие прочности при растяжении:

– (3.3)

Здесь R – расчетное сопротивление материала ,

где R_н – нормативное сопротивление материала, устанавливаемое нормами проектирования,

к – коэффициент безопасности по материалу.

Абсолютное удлинение элемента может быть определено как (3.4) (рис. 3.2):

(3.4)

EF – жесткость стержня при растяжении.

Е – модуль упругости стали при растяжении Е = 2·10⁵МПа.

При растяжении стержень в продольном направлении удлиняется на величину ∆l, а в поперечном направлении сужается на величину ∆а (рис.3.2):

∆l – абсолютная продольная деформация,

∆а – абсолютная поперечная деформация.

– относительная продольная деформация,

– относительная поперечная деформация.

Отношение: – коэффициент Пуассона

0 ≤ µ ≤ 0,5 (3.5)

Упругие постоянные Е и µ определяются по справочным данным в зависимости от материала элемента (см. часть 2).