Определение положения центра тяжести. Построение центральных осей

Определяем координаты точек С₁ и С₂ относительно системы z₁C₁y₁.

Точка С₁: =0; =0.

Точка С₂ : ; .

Общая площадь фигуры

Координата центра тяжести по оси y

.

Координата центра тяжести по оси z

.

Проводим центральные оси y _C , z _C параллельно осям y ₁ , z₁ , как это показано на рис.11.

Рис.11

Замечание. Центр тяжести составной фигуры (точка С) всегда должен лежать на

прямой линии, соединяющей точка С₁ и С₂ (см. рис.11).

Теперь y _C, z _C - основная система координат.

Определение величин осевых и центробежного моментов инерции

Относительно центральных осей

Момент инерции составной фигуры относительно оси y _C равен сумме моментов инерции первой и второй фигур

.

Момент инерции первой фигуры относительно оси y _C равен моменту инерции относительно оси y ₁ плюс площадь этой фигуры на квадрат расстояния между осями y ₁ и y _C (используем формулы параллельного переноса осей)

;

(см. рис.11).

Момент инерции второй фигуры относительно оси y _C

;

(см. рис.11).

.

Момент инерции составной фигуры относительно оси z _C равен сумме моментов инерции первой и второй фигур

.

;

(см. рис.11).

Момент инерции второй фигуры относительно оси y _C

;

(см. рис.11).

.

Центробежный момент инерции составной фигуры относительно осей y _C, z _C равен сумме центробежных моментов инерции первой и второй фигур

.

;

;

.

Моменты инерции относительно центральных осей найдены

Определение направления главных центральных осей

Направление главных центральных осей определяется по формуле:

.

Знак “ –“ показывает, что угол откладывается от оси y _C по ходу часовой стрелки (для “ + “ – против хода часовой стрелки).

Проводим главные центральные оси u ,v , как это показано на рис.11.

Определение величин осевых моментов инерции относительно

Главных центральных осей

Моменты инерции относительно главных центральных осей вычисляются по следующим формулам:

Так как , то

Наибольший из моментов инерции при повороте осей возрастает, достигая максимального значения, а меньший момент инерции убывает, достигая минимального значения, при этом сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей остается постоянной, т.е.

=const.

Используем последнее соотношение в качестве проверки

= = .

Задача 3

Для заданных двух схем балок (рис.12,15) требуется:

1.Для каждого участка балки составить выражения поперечных сил (Q) и изги-

бающих моментов(M) , используя метод сечений. Построить их эпюры.

2.Определить опасное сечение по нормальным напряжениям.

3.Из условия прочности по методу допускаемых напряжений при изгибе

подобрать:

а) для схемы (а) деревянную балку круглого поперечного сечения, приняв

допускаемое нормальное напряжение [ s ] = 10МПа;

б) для схемы (б) стальную балку двутаврового поперечного сечения, приняв

допускаемое нормальное напряжение [ s ] = 160МПа.

4. Проверить прочность балок.

Схема а)

Исходные данные:

a=2 м; b=2 м; q=10 кН/м;

m=8 кНм; F=15 кН;

[s ] = 10МПа=10 .

Рис.12

Решение

1.Построение эпюр поперечной силы Q и изгибающего момента M

Разбиваем расчетную схему балки на участки. Границами участка являются точки приложения сосредоточенных сил, сосредоточенных моментов, точки начала и конца распределенной нагрузки. В нашем примере балка имеет два участка, которые пронумеруем справа налево (рис. 14). Для определения внутренних усилий необходимо на каждом участке использовать метод сечений, который сводится к следующему.

1. Проводим поперечное сечение, которое разбивает балку на две части;

2. Выбираем ту часть балки, на которую действуют известные нагрузки (левую от сечения или правую);

3. Составляем выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента M,

при этом руководствуемся определением и правилом знаков.

Определение. Поперечная сила Q – это внутренняя сила, численно равная

алгебраической сумме всех внешних сил, действующих по одну

сторону от сечения перпендикулярно оси балки.

Определение. Изгибающий момент M –это внутренний момент, численно равный

алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих

по одну сторону от сечения относительно центра тяжести попереч-

ного сечения.

Правило знаков. Поперечная сила в поперечном сечении балки положительная

(Q>0), если внешние силы (F^внеш) направлены так, как показано на рис.13.

Изгибающий момент в поперечном сечении балки положителен(M >0), если

моменты внешних сил (M^внеш) направлены так, как показано на рис.13.

Поперечная сила и изгибающий момент отрицательны, если направления внешних сил и моментов внешних сил противоположны направлениям, указанным на рис.13.

Рис.13

Проводим сечение на первом участке и рассматриваем правую от сечения часть балки (рис.14), т.к. слева от сечения опорные реакции неизвестны.

I участок (сечение перемещается от правой до левой границы).

Составляем выражение для поперечной силы с учетом правила знаков справа от сечения

Q(x₁)= - F + qx₁= - 15 + 10x₁(уравнение прямой линии).

Здесь qx₁ - равнодействующая сила распределенной нагрузки q, расположенная справа от сечения посредине участка длиной x₁.

Определяем значения Q на границах участка

Q(0)= - 15 + 10 · 0= - 15 кН (значение на правой границе участка);

Q(2)= -15 + 10 ·2=5 кН(значение на левой границе участка).

Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка, определяем координату, при которой она обращается в нуль (в этом сечении изгибающий момент принимает экстремальное значение):

Q(x₀)= - 15 + 10x₀=0; x₀=15/10=1,5 м.

Составляем выражение для изгибающего момента с учетом правила знаков справа от сечения

M(x₁) = (уравнение квадратичной параболы).

Определяем значения M на границах участка и в найденной точке x₀

M(0)=0 (значение на правой границе участка) ;

M(1,5)= 1,5·(15 – 5·1,5)=11,25 кНм=11,3 кНм(значениев точке x₀);

M(2)=2·(15 – 5·2)=10 кНм (значение на левой границе участка).

II участок (сечение перемещается от правой до левой границы).

Составляем выражение для поперечной силы с учетом правила знаков справа от сечения

Q(x₂)= - F + q·2= - 15 + 10·2= 5 кН (прямая линия параллельная оси x).

Составляем выражение для изгибающего момента с учетом правила знаков справа от сечения

M(x₂) = = 15x₂ - 20 (x₂-1) – 8 = - 5x₂ + 12 (уравнение прямой).

M(2)= - 5 ·2 + 12= 2 кНм (значение на правой границе);

M(4)= - 5 ·4 + 12= - 8 кНм (значение на левой границе).