Определение внутренних продольных сил в

Расчет статически определимых

Стержневых систем

Основные понятия

Плоские шарнирно-стержневые конструкции, в которых все стержни работают на растяжение или сжатие, называются фермами (рис.13.1 – 13.2). Такие конструкции используются в пролетах мостов, в башенных кранах, в различных перекрытиях и т.д.

Рис. 13.1

F

F

Рис. 13.2

Если стержни в ферме соединены сваркой, но имеют большую длину и малую изгибную жесткость, то их приближенно можно считать работающими только на осевые нагрузки. В фермах верхние горизонтальные стержни называют верхний пояс, нижние горизонтальные нижний пояс, наклонные стержни раскосы, вертикальные стойки. Нагрузки считаются приложенными в узлах. Погонные распределенные нагрузки q приводятся к силам в узлах (рис. 13.2).

Если элементы стержневой конструкции достаточно короткие и имеют большие размеры поперечных сечений, т.е. большую изгибную жесткость EJ, то такие стержни в основном работают на изгиб и конструкция называется рамой (рис. 13.3, 13.4).

Здесь стержни в узлах соединены жестко (сваркой). В рамах силы F и нагрузки q могут быть произвольно приложены, q не надо приводить к узлам.

Рис. 13.3

i =1 ,2,3,4 Рис. 13.4

Степень статической определимости и

изменяемости

I. Фермы:

Для ферм эта степень определяется по формуле

. (13.1)

Здесь: R – число опорных связей;

С – число стержней в ферме;

Ш – число шарниров.

Если W = 0 ферма неизменяема и статически определима.

Если W < 0 ферма геометрически изменяема (механизм), не пригодна к эксплуатации.

Если W > 0 ферма статически неопределима и неизменяема. Рис.13.1: R = 3, C = 9, Ш = 6 по (13.1) W = 3 + 9 – 2 x 6 = 0, ферма статически определима, но мгновенно геометрически изменяема, т.к. все опорные связи пересекаются в т.А. и возможен малый поворот фермы относительно т.А. Такую ферму эксплуатировать нельзя. Если верхнюю опору сделать горизонтальной, ферма станет геометрически неизменяемой и пригодной к эксплуатации.

Итак: в ферме все опорные связи не должны пересекаться в одной точке.

Рис.13.2: R = 3, C = 7, Ш = 5, W = 3 + 7 – 2 x 5 = 0, ферма статически определима и геометрически неизменяема.

II. Рамы:

Здесь

W = R – 3 + 3K, (13.2)

где: R – общее число опорных связей;

К – число замкнутых контуров.

Рис. 13.3: R = 7, K = 1, W = 7 – 3 + 3 x 1 = 7 раз статически неопределима.

Рис. 13.4: R = 3, K = 0, W = 3 – 3 + 3 x 0 = 0, рама статически определима.

Статическая неопределимость бывает трех типов:

1) Наружной (внешней) определяется , т.е. если число опорных связей больше трех;

2) Внутренней определяется S_B = W - S_H;

3) Смешанной, если S_H ≠ 0 и S_B ≠ 0.

Рис. 13.3: S_H = 7 – 3 = 4 раза внешне статически неопределима;

S_B = 7 – 4 = 3 раза внутренне статически неопределима, т.е. это смешанный тип статической неопределимости.

Определение внутренних продольных сил в

сечениях стержней статически определимых ферм

Рис.13.5.

Как указано выше, в фермах стержни работают на растяжение или сжатие, т.е. в них возникают продольные силы , которые определяются методом сечений: стержень мысленно разрезаем в произвольном месте, получим две его части, прикрепленные к соседним узлам. В каждой его части показываем в сечении растягивающее усилие . Например, разрежем стержень А-2 (см. рис. 13.5).

К левой его части, соединенной с опорой А, приложим растягивающее усилие NA2, а к правой части, соединенной в узле 2, - растягивающее усилие N2A. Очевидно, что NA2 = N2A. Аналогично вводим усилия во всех стержнях фермы.

Расчет фермы начинают с определения всех опорных реакций из обычных уравнений равновесия для всей фермы. Усилия в стержнях фермы можно определить двумя способами:

1. Метод вырезания узлов

Обычно используется, когда в узле (шарнире) сходятся два стержня с неизвестными усилиями . Например, вырежем узел А на рис. 13.5. Здесь сходятся два стержня А-1 и А-2. Как показано выше, усилия в них обозначим N_А1 и N_А2 (растягивающие). Для их определения можно составить два уравнения равновесия узла А: и (направления осей Y и Z показаны на рис. 13.5). При этом надо учитывать реакции R_А и Н_А в опоре А и знать все углы между стержнями. Если из расчета получим > 0, то этот стержень растянут, а если < 0, то сжат. Далее можно вырезать узел 1. Здесь неизвестны усилия N₁₂ и N₁₃ (растягивающие), а N_1A = N_A1 – уже известно. Составим для узла 1 уравнения статики:

, (учесть силу F в узле 1) и из них найдем N₁₃ и N₁₂. Далее можно вырезать узел 2, где неизвестны N₂₃ и N₂₄, а N₂₁ = N₁₂, N_2A = N_A2 – уже известны. В уравнениях и учесть силу F в узле 2. Потом последовательно вырезаем другие узлы и находим в остальных стержнях. Если ферма и нагрузки на ней имеют симметрию (как на рис. 13.5), то ее надо использовать. Из рис. 13.5 получим: N_B5 = N_A1, N_B4 = N_A2, N₄₅ = N₂₁, N₅₃ = N₁₃, N₄₃ = N₂₃.

Метод разрезов (сечений)

Ферму мысленно разрезают на две части сечением так, чтобы перерезанными были три стержня. Рассматривают равновесие одной части фермы, в перерезанных стержнях этой части показывают растягивающие усилия . Составляют три уравнения равновесия для рассматриваемой части фермы. Моментные уравнения (для простоты вычислений) надо составить относительно тех точек, где сходятся два неизвестных усилия и проще определить плечи у сил . Из этих трех уравнений и определяются три усилия . Например, ферму на рис. 13.5 разрежем сечением С-С и рассмотрим равновесие ее правой части. Неизвестные усилия в стержнях: N₃₁, N₃₂, N₄₂ (растягивающие) показаны на рис. 13.5. В узле 3 сходятся усилия N₃₁ и N₃₂, поэтому составим моментное уравнение равновесия правой части фермы относительно узла 3: ∑mom₃=0. Здесь плечо для усилия N₄₂ определяется легко, обязательно учесть силы F в узлах 3,4,5 и реакцию R_B в узле В. Из этого уравнения вычисляется N₄₂. Далее лучше составить уравнения и для всей правой части фермы с нагрузками на нее, из которых находятся усилия N₃₁ и N₃₂. Далее можно сделать разрез К-К, здесь неизвестными будут N₅₃, N₅₄, N_B4, и рассмотреть равновесие правой части фермы. Моментное уравнение равновесия лучше составить относительно узла 5, из которого найдется N_B4. Потом можно составить для правой части фермы и , из которых определяется N₅₄ и N₅₃. Во всех уравнениях равновесия надо учитывать силу F в узле 5 и реакцию R_B в узле В.

В остальных стержнях усилия можно найти методом вырезания узлов, т.е. в одной задаче можно использовать оба метода. Желательно использовать симметрию задачи (если она имеет место).