Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
 
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Найти область сходимости степенного ряда.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
 
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Найти разложение функции в степенной ряд по степеням x

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
 
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

№7 Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенные интегралы с указанной погрешностью Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru :

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
 
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

№8 Найти разложение в степенной ряд по степеням x решения дифференциального уравнения(записать три первых, отличных от нуля, члены этого разложения):

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru
 
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение типового варианта

1. Найти сумму ряда:

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение

Составим n-ую частичную сумму данного ряда:

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Чтобы упростить выражение для Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , преобразуем формулу для общего члена ряда, разлагая Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru на элементарные дроби. Положим

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

отсюда

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n в числителях обеих частей равенства, получаем:

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru откуда Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , поэтому

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Выражение для Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru принимает вид

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Приводя подобные члены, получаем

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Переходя к пределу, находим Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Следовательно

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Исследовать на сходимость ряды с положительными членами

а) Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение

Сравним данный ряд с гармоническим рядом Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru . Выпишем общие члены рядов: Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru . Найдем Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Предел конечный и отличный от нуля.

Так как гармонический ряд расходится, то на основании признака сравнения заключаем, что данный ряд также расходится.

б) Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение

Сравним данный ряд с рядом Дирихле Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru . Так как Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , то ряд сходится.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Согласно признака сравнения данный ряд сходится.

в) Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Поскольку Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , сравним данный ряд с рядом Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , который является рядом Дирихле и сходится, т.к. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Предел конечный и отличный от нуля.

Согласно признака cравнения данный ряд сходится.

г) Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение

Сравним данный ряд с рядом Дирихле Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , который сходится, т.к. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Согласно признака сравнения данный ряд сходится.

3. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

а) Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение.

Применим интегральный признак Коши.

Функция Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru удовлетворяет условиям интегрального признака Коши.

Поскольку Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , т.е. интеграл Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru расходится, то расходится и данный ряд.

б) Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение

Применим признак Коши. Поскольку Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru . Так как Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , ряд сходится.

в) Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение

Применим признак Даламбера. Поскольку Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru ; Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru .

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , то данный ряд сходится.

г) Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru

Решение

Применим признак Даламбера.

Так как Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru ,

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд - student2.ru , то данный ряд сходится.

Наши рекомендации