Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд

Найти область сходимости степенного ряда.

Найти разложение функции в степенной ряд по степеням x

№7 Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенные интегралы с указанной погрешностью :

№8 Найти разложение в степенной ряд по степеням x решения дифференциального уравнения(записать три первых, отличных от нуля, члены этого разложения):

Решение типового варианта

1. Найти сумму ряда:

Решение

Составим n-ую частичную сумму данного ряда:

Чтобы упростить выражение для , преобразуем формулу для общего члена ряда, разлагая на элементарные дроби. Положим

отсюда

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n в числителях обеих частей равенства, получаем:

откуда , , поэтому

Выражение для принимает вид

Приводя подобные члены, получаем

Переходя к пределу, находим

Следовательно

Исследовать на сходимость ряды с положительными членами

а)

Решение

Сравним данный ряд с гармоническим рядом . Выпишем общие члены рядов: , . Найдем

Предел конечный и отличный от нуля.

Так как гармонический ряд расходится, то на основании признака сравнения заключаем, что данный ряд также расходится.

б)

Решение

Сравним данный ряд с рядом Дирихле . Так как , то ряд сходится.

Согласно признака сравнения данный ряд сходится.

в)

Решение

, , ,

Поскольку , сравним данный ряд с рядом , который является рядом Дирихле и сходится, т.к. , .

Предел конечный и отличный от нуля.

Согласно признака cравнения данный ряд сходится.

г)

Решение

Сравним данный ряд с рядом Дирихле , который сходится, т.к. , .

Согласно признака сравнения данный ряд сходится.

3. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

а)

Решение.

Применим интегральный признак Коши.

Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши.

Поскольку , т.е. интеграл расходится, то расходится и данный ряд.

б)

Решение

Применим признак Коши. Поскольку , .

. Так как , ряд сходится.

в)

Решение

Применим признак Даламбера. Поскольку ; .

, то данный ряд сходится.

г)

Решение

Применим признак Даламбера.

Так как , ,

, то данный ряд сходится.