Исследовать сходимость ряда № 1 - 13

№1. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №2. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №3. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №4. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

№5. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №6.. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru №7. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №8. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

№9. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №10. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №11. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

№12. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №13. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

Определение: Знакопостоянный числовой ряд-это такой ряд, все члены которого либо только положительные, либо отрицательные числа.

Название Формулировка Примечание
Признак Д’Аламбера     Если у знакоположительного ряда Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru существует и конечен Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , то, если Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , ряд сходится; если Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru ,то ряд расходится. Замечание: Если Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , то ряд расходится 1.Применяется, если общий член ряда содержит слагаемым или множителем Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru или Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , или их вариации 2. Если Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , вопрос о сходимости ряда остается открытым  
Радикальный признак Коши Если у знакоположительного ряда Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru существует и конечен Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , если Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , ряд сходится; если Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru ,то ряд расходится 1. Применяется, если общий член ряда целиком является n – ой ( или n+1 – ой, 2n –ой…) степенью некоторого выражения 2. Если l = 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым
Интегральный признак Коши Если функция Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru - непрерывная, положительная, убывающая при Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru и Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , то ряд Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru и несобственный интеграл Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru одновременно сходятся или расходятся. 1. Применяется, когда общий член Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru порождает функцию Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , первообразная которой находится без особого труда

Примерный план исследования знакоположительного ряда:

1. Определить вид ряда.

2. Находят (если это не трудно) Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru : Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

а) если Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , то ряд расходится

б) если Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , то продолжаем исследование.

3. Устанавливаем путем анализа формулы общего члена какой из признаков целесообразнее применить, перебирая признаки в следующем порядке:

а) признак Д’Аламбера

б) радикальный признак Коши

в) интегральный признак Коши

г) признаки сравнения

4. Исследуем сходимость ряда по данному признаку

Степень роста выражений при Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

1. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

2. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

3. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

4. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

5. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru , Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

Исследовать на сходимость №№ 14 – 18.

№14. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №15. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №16. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №17. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

№18. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №19. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru №20. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru №21. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

Знакопеременные ряды

Знакопеременные ряды – это числовые ряды, содержащие бесчисленное множество положительных и бесчисленное множество отрицательных членов

Определение: Знакопеременный ряд, у которого положительные и отрицательные члены ряда следуют строго друг за другом называется знакочередующимся

Теорема (Признак Лейбница)

Если абсолютные величины членов знакочередующегосяряда убывая стремятся к нулю, то такой ряд сходится и абсолютная величина его суммы не превосходит первого члена ряда.

Ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, называется рядом Лейбница или лейбницевским рядом. Он всегда сходится

Определение. Ряд Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

Определение. Ряд Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru расходится.

№22. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №23. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №24. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №25. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №26. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №27. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №28. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

Степенные ряды

Определение: Ряд, все члены которого являются функциями одного и того же аргумента, называется функциональным.

Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

Ряд, записанный в виде

Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

называется степенным

План нахождение области сходимости:

1) Найдем радиус сходимости по одной из формул Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru или Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

2) Запишем интервал сходимости (-R: R),

3) Дополнительно исследуем сходимость заданного ряда в точках x = Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru

4) Записываем область сходимости исходного ряда.

Замечание:

Если исследуем ряд, расположенных по степеням (x – x0), где x0 ≠ 0, общий вид которого

Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru то

выполним замену x – x0 = X, получим Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru (1)и найдем область сходимости полученного ряда по плану, затем заменив X, найдем область сходимости исходного ряда

Найти область сходимости степенных рядов:

№29. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №30. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №31. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

№32. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №33. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №34. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

№35. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №36. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №37. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

№38. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №39. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

Разложить в ряд по степеням Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru :

№40. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru №41. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №42. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

№43. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .№44. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №45. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

№46. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №47. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .№44. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

№45. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №46. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru . №47. Исследовать сходимость ряда № 1 - 13 - student2.ru .

Вопросы по теме «Ряды»

1.Основные понятия о числовых рядах. Свойства числовых рядов.

Наши рекомендации