Основные формулы и теоремы
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
Кратные и криволинейные интегралы.
Ряды.
Методические указания и задания аттестационных работ
по курсу «Высшая математика»
для студентов строительного факультета.
Брест 2008
УДК 517.9
Кратные и криволинейные интегралы. Ряды.
Методические указания аттестационных работ по курсу "Высшая математика" для студентов строительного факультета, Брест, УО "БГТУ", 2008.
В соответствии с действующей программой для студентов строительного факультета составлены две аттестационные работы с индивидуальными заданиями и даны образцы их решения.
Составители: Пархимович И.В.,к.ф-м.н., доцент
Гоголинская Р.А. ассистент
Остапчук Е.М. ассистент
Рецензент: Доцент кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Учреждения образования "Брестский государственный университет
им. А.С. Пушкина", к.ф.—м.н. Дежурко Ю.И.
Учреждение образования
© «Брестский государственный технический университет 2008
Вопросы учебной программы (III семестр)
1. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.
2. Определение, теоремы существования двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.
3. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
4. Замена переменных в двойном интеграле. Переход в двойном интеграле от декартовых к полярным координатам.
5. Приложения двойного интеграла - площадь плоской фигуры, объемы тел, статические моменты и центр тяжести. Момент инерции плоской фигуры .
6. Тройной интеграл: определение, свойства, вычисление в декартовых координатах.
7. Цилиндрические и сферические координаты. Переход в тройном интеграле от декартовых к цилиндрическим и сферическим координатам.
8. Приложения тройного интеграла — объемы тел, масса тел, центр тяжести.
9. Криволинейный интеграл 1-го рода (КрИ-I): определение, свойства, вычисление, приложения.
10. Криволинейный интеграл 2-го рода (КрИ-II): определение, свойства, вычисление, приложения.
11. КрИ-II по замкнутому контуру. Формула Грина. Независимость КрИ-II от формы пути интегрирования.
12. Общие понятия числового ряда. Геометрическая прогрессия и гармонический ряд.
13. Основные свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости рядов.
14. Признаки сравнения.
15. Признаки Даламбера и Коши.
16. Интегральный признак Коши. Ряд Дирихле.
17. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница.
18. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
19. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.
20. Степенные ряды. Теорема Абеля.
21. Свойства степенных рядов
22. Разложение функций и степенный ряд. Ряд Тейлора.
23. Разложение и ряд Тейлора-Маклорена элементарных функций ех , cosx, sinx,
, 
24. Приложение степенных рядов: приближенное вычисление значений функции, приближенное вычисление определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
25. Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье.
26. Сходимость ряда Фурье. Теорема Дирихле.
27. Ряды Фурье для четных и нечетных функций .
28. Разложение в ряд Фурье периодических функций с общим периодом. Разложение в ряд Фурье непериодических функций.
29.Виды уравнений математической физики. Метод Фурье. Метод сеток.
Основные формулы и теоремы
1. 
, где обл. D – правильная и [a,b] - проекция обл. D на ОХ, и у = φ1(х) и у = φ2 (х)- графики функций, ограничивающих обл. D на OY,
x = ψ1(y) и х = ψ2 (y) – графики функций, ограничивающие обл. D слева и справа.
2. Двойной интеграл в полярных координатах:
, где 
- раствор угла, содержащий обл. D, а r = r1(φ) r = r2(φ) – линии, ограничивающие область D.
3. Площадь плоской фигуры D:
4. Объем цилиндрического тела
5. 
, где
- поверхности, ограничивающие обл. V снизу и сверху;
- линии, ограничивающие снизу и сверху проекцию обл. V на
пл. XOY, [a,b], - проекция на ось ОХ проекции обл. V на плоскости XOY.
6. 
7. 
где
– параметрические уравнения кривой АВ.
8. 
где x=x(t), y=y(t), z=z(t)
– параметрические уравнения кривой АВ.
9. 
.
где x=x(t), y=y(t), z=z(t), – параметрические уравнения кривой АВ.
10. 
где 
– уравнение кривой АВ.
11. 
– формула Грина
12. u1 + u2 + … + un + … = 
– ряд
Sn = u1 + u2 + … + un – частичная сумма ряда
S = 
Sn – сумма ряда.
13. a + aq + aq2 + … + aqn-1 + … – геометрическая прогрессия, при │q│< 1 – г.п. сходится
14. 
– гармонический ряд расходится
15. Если ряд сходится, то 
= 0 – необходимый признак сходимости ряда.
16. Пусть 
а) если ряд 
сходится, то сходится ряд
б). если ряд расходится, то расходится ряд
17. Пусть 
и 
Если 
, то оба ряда и сходятся или расходятся одновременно.
18. Пусть 
а) если 
, то ряд сходится
б). если 
, то ряд расходится - признак Даламбера
19. Пусть 
а) если , то ряд сходится
б). если , то ряд расходится - признак Коши
20. Если интеграл 
сходится, то сходится и ряд , а если интеграл
расходится, то расходится и ряд , где f(x) – непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция, и un = f(n) – интегральный признак Коши.
21. Если члены знакочередующегося ряда 
монотонно убывают по абсолютной величине и 
, то данный ряд сходится, его сумма положительная и не превосходит первого члена – признак Лейбница.
22. 
область сходимости 
область сходимости
(-1; 1]
(-1;1)
23. 
- тригонометрический ряд
- коэффициент Фурье.
Типовые задания
1. Изменить порядок интегрирования 
2. Вычислить 
где D – область, ограниченная линиями y=x, y=2x, x=2, x=3.
3. Вычислить 
где D – область, ограниченная линией 
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями 
6. Вычислить 
где V – область, ограниченная плоскостями x=0, y=0, z=0, x+y+z-2=0
7. Вычислить 
где L – отрезок прямой от А(0;0) до В(4;3)
8. Вычислить 
где АВ – отрезок прямой от А(1;1) до В(3;4)
9. Найти сумму ряда 
10. Исследовать на сходимость ряды:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
11. Найти область сходимости ряда: 
12. Разложить в ряды по степеням х:
а) 
б) 
13. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию 
с периодом 
, заданную в интервале 
уравнением 
Задания к аттестационной работе №3 по теме: