Производная показательной функции

Пусть

Производная показательной функции - student2.ru

где a – положительное число, u – дифференцируемая функция x . Найдём производную y по x . Прологарифмируем обе части равенства по основанию e : ln y = u ln a . Дифференцируя это равенство по x и учитывая, что ln y – сложная функция, а ln a – постоянный множитель, получим

Производная показательной функции - student2.ru

или

Производная показательной функции - student2.ru

Подставив в последнее равенство

Производная показательной функции - student2.ru

окончательно находим

Производная показательной функции - student2.ru

Производная логарифмической функции

Производная функции y = ln x существует и выражается формулой

Производная показательной функции - student2.ru (15)

В случае сложной логарифмической функции y = ln u, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (15) примет вид

Производная показательной функции - student2.ru (16)

Пользуясь формулой (16), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть

Производная показательной функции - student2.ru

На основании свойств логарифмов имеем

Производная показательной функции - student2.ru

Так как

Производная показательной функции - student2.ru

- постоянный множитель, то

Производная показательной функции - student2.ru

или

Производная показательной функции - student2.ru

38.

Производные элементарных функций:

Функция Производная
f(x) = C, C ∈ R 0 (да-да, ноль!)
f(x) = xn n · xn − 1
f(x) = sin x cos x
f(x) = cos x − sin x
f(x) = tg x 1/cos2 x
f(x) = ctg x − 1/sin2 x
f(x) = ln x 1/x
f(x) = loga x 1/(x · ln a)
f(x) = ex ex

Производная показательной функции - student2.ru

Производная показательной функции - student2.ru

Производная показательной функции - student2.ru

Производная сложной функции

Пусть функция f: [a, b] → [c, d], а функция g:[a1, b1] → [c1, d1], причём [a1, b1] Производная показательной функции - student2.ru [c, d]. Если функция f дифференцируема в точке х0 Производная показательной функции - student2.ru [a, b], а функция g дифференцируема в точке y0 = f (x0) Производная показательной функции - student2.ru [a1,b1], то сложная функция F(x) = g( f ( x )) имеет в точке х0 производную, равную

g ' ( f ( x0 ) )·f ' ( x0 ).

Показательно-степенная функция

Показательно-степенной функцией называется функция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x).

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.

Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некото­ром интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у = f--1(x) имеет производную [f--1(x)]', причем

Производная показательной функции - student2.ru или Производная показательной функции - student2.ru

Производные обратных тригонометрических функций

Производная показательной функции - student2.ru
Производная показательной функции - student2.ru
Производная показательной функции - student2.ru
Производная показательной функции - student2.ru

Производная показательной функции - student2.ru

Производная показательной функции - student2.ru

Производная показательной функции - student2.ru Производная показательной функции - student2.ru

Производная функций заданных неявно

Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0 , F(x,y) — дифференцируемая функция и F 'y( x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'x(x, y) / F'y(x, y).

Производная функций заданных параметрически

формула производной параметрически заданной функции Производная показательной функции - student2.ru

Дифференциал функции

Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f’(x)dx.

Свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1) d(u ± v) = (u ± v)’dx = u’dx ± v’dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)’dx = (u’v + v’u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4) Производная показательной функции - student2.ru

Наши рекомендации