Свойства показательной функции
Свойства показательной функции | y = ax , a > 1 | y = ax , 0< a < 1 |
| ||
2. Область значений функции | ||
3.Промежутки сравнения с единицей | при x > 0, ax>1 | при x > 0, 0< ax< 1 |
при x < 0, 0< ax< 1 | при x < 0, ax>1 | |
4. Чётность, нечётность. | Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). | |
5.Монотонность. | монотонно возрастает на R | монотонно убывает на R |
6. Экстремумы. | Показательная функция экстремумов не имеет. | |
7.Асимптота | Ось Ox является горизонтальной асимптотой. | |
8. При любых действительных значениях xи y; |
3) Ln x
Графиком функции y = ln x является экспонента, у которой в точке х = 1 угол между касательной и осью абсцисс равен 45º.
Не следует путать с функцией у = ех, у которой: а) касательная под углом 45º пересекает ось абсцисс в точке х = 0; б) экспонента выпукла вниз.
В отличие от функции у = ех, экспонента функции y = ln x выпукла вверх.
График функции y = ln x симметричен графику функции у = ех относительно прямой у = х.
Свойства функции y = ln x:
1) Областью определения являются все положительные числа: D(f) = (0; +∞). 2) Область значений функции – все числа от –∞ до +∞: E(f) = (–∞; +∞) 3) Функция ни четная, ни нечетная. 4) Возрастает на промежутке (0; +∞). 5) Не ограничена ни снизу, ни сверху. 6) Не имеет наибольшего и наименьшего значений. 7) Непрерывна. 8) Выпукла вверх. 9) Дифференцируема. |
4) Sin x
а) Область определения: D (sin x) = R .
б) Множество значений: E (sin x) = [ – 1 , 1 ] .
в) Четность, нечетность: функция нечетная.
г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 .
д) Нули функции: sin x = 0 при x = n, n Z.
е) Промежутки знакопостоянства:
; .
ж) Промежутки монотонности:
;
.
з) Экстремумы:
; .
График функции y= sin x изображен на рисунке.
5) Cos x
а) Область определения: D (cos x) = R .
б) Множество значений: E (cos x ) = [ – 1 , 1 ] .
в) Четность, нечетность: функция четная.
г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 .
д) Нули функции: cos x = 0 при x = + n, n Z.
е) Промежутки знакопостоянства:
;
.
. ж) Промежутки монотонности:
;
.
з) Экстремумы:
; .
График функции y= cos x изображен на рисунке.
6) Tg x
а) Область определения: D (tg x) = R\ { /2 + n( n Z ) }.
б) Множество значений: E (tg x ) = R .
в) Четность, нечетность: функция нечетная.
г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .
д) Нули функции: tg x = 0 при x = n, n Z.
е) Промежутки знакопостоянства:
; .
ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.
з) Экстремумы: нет.
График функции y = tg x изображен на рисунке.
7) Ctg x
а) Область определения: D (ctg x) = R\ { n( n Z ) }.
б) Множество значений: E (ctg x ) = R .
в) Четность, нечетность: функция нечетная.
г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .
д) Нули функции: ctg x = 0 при x = /2 + n, n Z.
е) Промежутки знакопостоянства ;
; .
ж) Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.
з) Экстремумы: нет.
График функции y = ctg x изображен на рисунке.
8) Arcsin x
9) Arccos x
Арксинус, arcsin
Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения и множество значений .
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x
Арксинус иногда обозначают так:
.
График функции арксинус
График функции y = arcsin x
График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.
Арккосинус, arccos
Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения и множество значений .
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x
Арккосинус иногда обозначают так:
.
График функции арккосинус
График функции y = arccos x
График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.
Четность
Функция арксинус является нечетной:
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x
Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x