Свойства показательной функции

Свойства показательной функции y = ax , a > 1 y = ax , 0< a < 1
  1. Область определения функции
Свойства показательной функции - student2.ru
2. Область значений функции Свойства показательной функции - student2.ru
3.Промежутки сравнения с единицей при x > 0, ax>1 при x > 0, 0< ax< 1
при x < 0, 0< ax< 1 при x < 0, ax>1
4. Чётность, нечётность. Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5.Монотонность. монотонно возрастает на R монотонно убывает на R
6. Экстремумы. Показательная функция экстремумов не имеет.
7.Асимптота Ось Ox является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных значениях xи y; Свойства показательной функции - student2.ru Свойства показательной функции - student2.ru

3) Ln x

Графиком функции y = ln x является экспонента, у которой в точке х = 1 угол между касательной и осью абсцисс равен 45º.

Не следует путать с функцией у = ех, у которой: а) касательная под углом 45º пересекает ось абсцисс в точке х = 0; б) экспонента выпукла вниз.

В отличие от функции у = ех, экспонента функции y = ln x выпукла вверх.

График функции y = ln x симметричен графику функции у = ех относительно прямой у = х.

Свойства показательной функции - student2.ru


Свойства функции y = ln x:

1) Областью определения являются все положительные числа: D(f) = (0; +∞). 2) Область значений функции – все числа от –∞ до +∞: E(f) = (–∞; +∞) 3) Функция ни четная, ни нечетная. 4) Возрастает на промежутке (0; +∞). 5) Не ограничена ни снизу, ни сверху. 6) Не имеет наибольшего и наименьшего значений. 7) Непрерывна. 8) Выпукла вверх. 9) Дифференцируема.

4) Sin x

а) Область определения: D (sin x) = R .

б) Множество значений: E (sin x) = [ – 1 , 1 ] .

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 Свойства показательной функции - student2.ru .

д) Нули функции: sin x = 0 при x = Свойства показательной функции - student2.ru n, n Свойства показательной функции - student2.ru Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

Свойства показательной функции - student2.ru ; Свойства показательной функции - student2.ru .

ж) Промежутки монотонности:
Свойства показательной функции - student2.ru ;

Свойства показательной функции - student2.ru .

з) Экстремумы:
Свойства показательной функции - student2.ru ; Свойства показательной функции - student2.ru .

График функции y= sin x изображен на рисунке.

Свойства показательной функции - student2.ru

5) Cos x

а) Область определения: D (cos x) = R .

б) Множество значений: E (cos x ) = [ – 1 , 1 ] .

в) Четность, нечетность: функция четная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 Свойства показательной функции - student2.ru .

д) Нули функции: cos x = 0 при x = Свойства показательной функции - student2.ru + Свойства показательной функции - student2.ru n, n Свойства показательной функции - student2.ru Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

Свойства показательной функции - student2.ru ;
Свойства показательной функции - student2.ru .

. ж) Промежутки монотонности:

Свойства показательной функции - student2.ru ;

Свойства показательной функции - student2.ru .

з) Экстремумы:

Свойства показательной функции - student2.ru ; Свойства показательной функции - student2.ru .

График функции y= cos x изображен на рисунке.

Свойства показательной функции - student2.ru

6) Tg x

а) Область определения: D (tg x) = R\ { Свойства показательной функции - student2.ru /2 + Свойства показательной функции - student2.ru n( n Свойства показательной функции - student2.ru Z ) }.

б) Множество значений: E (tg x ) = R .

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = Свойства показательной функции - student2.ru .

д) Нули функции: tg x = 0 при x = Свойства показательной функции - student2.ru n, n Свойства показательной функции - student2.ru Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

Свойства показательной функции - student2.ru ; Свойства показательной функции - student2.ru .

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = tg x изображен на рисунке.

Свойства показательной функции - student2.ru

7) Ctg x

а) Область определения: D (ctg x) = R\ { Свойства показательной функции - student2.ru n( n Свойства показательной функции - student2.ru Z ) }.

б) Множество значений: E (ctg x ) = R .

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = Свойства показательной функции - student2.ru .

д) Нули функции: ctg x = 0 при x = Свойства показательной функции - student2.ru /2 + Свойства показательной функции - student2.ru n, n Свойства показательной функции - student2.ru Z.

е) Промежутки знакопостоянства ;
Свойства показательной функции - student2.ru ; Свойства показательной функции - student2.ru .

ж) Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = ctg x изображен на рисунке.

Свойства показательной функции - student2.ru

8) Arcsin x

9) Arccos x

Арксинус, arcsin

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения и множество значений .
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

Арксинус иногда обозначают так:
. Свойства показательной функции - student2.ru

График функции арксинус

Свойства показательной функции - student2.ru

График функции y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения и множество значений .
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

Арккосинус иногда обозначают так:
. Свойства показательной функции - student2.ru

График функции арккосинус

Свойства показательной функции - student2.ru

График функции y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x



Наши рекомендации