Алгебраические критерии устойчивости

Наиболее распространен в инженерной практике алгебраический критерий Гурвица. Ниже приведены формулировки и методика применения критерия Гурвица.

Критерий Гурвица.

Запишем характеристическое уравнение системы n-го порядка

.

Примечание. В некоторых учебниках и задачниках по курсу ТАУ используют другую индексацию коэффициентов, а именно:
.

Однако, важна не индексация коэффициентов характеристического уравнения, а соответствие каждого из них порядку производной в дифференциальном уравнении. Поэтому формально целесообразно использовать форму записи, при которой индекс коэффициента соответствует порядку производной.

Для анализа устойчивости с помощью критерия Гурвица необходимо составить матрицу коэффициентов характеристического уравнения следующего вида:

(4.10)

Линейная система устойчива, если при > 0 положительны все диагональные миноры матрицы коэффициентов, т.е.

= > 0

= > 0

= > 0

и т.д., или в общем виде

= > 0, i = 1,2, ..., n (4.11)

Если хотя бы один из определителей (4.11) отрицателен, то система неустойчива.

Так как последний столбец главного определителя содержит всегда только один элемент , отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей

= . (4.12)

Если = 0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости. С учетом (4.12) это условие распадается на два:

= 0 и = 0. (4.13)

Условию = 0 соответствует один нулевой корень, т.е. апериодическая граница устойчивости, а условию = 0 - пара мнимых корней, т.е. колебательная граница устойчивости.

Совершенно очевидно, что для систем первого и второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов характеристического уравнения.

Для системы третьего порядка с характеристическим уравнением

условие устойчивости

(4.14)

Последнее неравенство при >0 эквивалентно неравенству >0. Следовательно, для системы третьего порядка, кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, требуется, чтобы > 0.

Учитывая выражение для , можно сформулировать мнемоническое правило оценки устойчивости систем третьего порядка:

произведение средних коэффициентов характеристического уравнения должно быть больше произведения крайних.

Для устойчивости системы четвертого порядка с характеристическим уравнением

(4.15)

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

> 0. (4.16)

Нетрудно доказать, что при положительности всех коэффициентов условие (4.16) обеспечивает выполнение необходимого неравенства > 0.

Таким образом,

для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель были положительными.

Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n>5 достаточные условия устойчивости усложняются, а вычисления определителей становится громоздким.

Пример 4.1. Определим с помощью критерия Гурвица устойчивость САУ при следующих значениях параметров:

TЯ = 0,15 c; TM = 1 c; TП = 0,01 c; K_Σ = 15.

Характеристическое уравнение системы

(TП× p + 1)( TЯ TM× p2 + TM× p + 1) + K_Σ = 0,

или ,

где a3 = TП TЯ TM = 0.01× 1× 0,15 = 0,0015 c3;

a2 = TЯ TM + TП TM = 1× 0,15+ 1× 0,01 = 0,16 c2;

a1 = TM + TП = 1 + 0,01 = 1,01 c;

a0 = 1+15 = 16.

Все коэффициенты характеристического уравнения положительны, т.е. необходимое условие устойчивости выполняется. Проверим выполнение достаточного условия, для чего вычислим определитель

D2 = a1× a2 - a3× a0 = 1,01× 0,16 - 0,0015× 16 = 0,1616 - 0,0224 = +0,1376,

D2 > 0, следовательно, система устойчива.

Решим теперь обратную задачу: определим, какое максимальное значение суммарного коэффициента усиления К_S допустимо по условию устойчивости.

Максимальное допустимое значение К определяется из условия нахождения системы на границе колебательной устойчивости. Это значение К называют критическим или граничным

D2 = a1× a2 - a3× a0кр = 0,

отсюда a0кр = a1× a2 /a3 = 1,01× 0,16/0,0015 = 107,73.

Ккр = a0кр - 1 = 107,73 - 1= 106,73.

Следовательно, рассмотренная в примере система устойчива, если К < Ккр.