Смешанная система массового обслуживания с одним прибором

СМО состоит из одного прибора и очереди; в системе может одновременно находиться не более, чем n требований; очередь упорядоченная. Обозначим через X(t) число требований, находящихся в системе в момент t. Функция X(t) принимает (n+1) значение: x₀ – в системе нет требований, x₁ – в системе одно требование, …, x_n – в системе n требований.

Определим вектор вероятности p(t) = [p₀(t), P₁(t), …, p_n(t)] состояний системы для любого момента времени t, где p_q(t) – вероятность того, что функция X(t) в момент времени t принимает значения x_q, q = 0, 1, …, n. заменим непрерывное время t прерывным, меняющимся скачкообразно через интервал Δt и сведем, тем самым, X(t) к простой цепи Маркова. Составим матрицу вероятностей перехода p_qq (t, t+Δt) из состояния x_q в момент t в состояние x_q, в момент (t, t+Δt) при условии, что Δt мало.

Вследствие ординарности входящего потока и показательного закона распределения времени обслуживания за малый интервал Δt не может произойти соответственно более одного поступления и более одного окончания обслуживания. Поэтому в интервале (t, t+Δt) могут произойти следующие переходы:

Определим вероятности следующих событий:

1) за интервал (t, t+Δt) в систему не поступит ни одного требования;

2) за интервал (t, t+Δt) прибор не закончит обслуживания.

Вероятность первого события

вероятность второго события

Тогда вероятность поступления в систему ровно одного требования за интервал (t, t+Δt) и вероятность того, что за интервал (t, t+Δt) прибор обслужит ровно одно требование равны: 1-(1-λ Δt)= λ Δt и 1-(1µΔt)=µΔt, как вероятности событий, противоположных рассмотренным.

Вычислим вероятность p_qq (t, t+Δt), где n>q>0. Eсли в момент t в системе находилось q требований, то событие, состоящее в том, что в момент t+Δt в системе по-прежнему будет находиться q требований, можно рассматривать как сумму следующих несовместных событий:

события А – за интервал (t+Δt) ни одно требование не поступило в систему и ни одно требование не было обслужено Р(А)≈ (1-λ Δt)(1-µΔt);

события B – за интервал (t+Δt) в систему поступило ровно одно требование и за это же время прибор закончил обслуживание одного требования и оно покинуло систему. P(B)≈λ∆t*μ∆t .

Таким образом,

так как 2λµΔt² является величиной бесконечно малой более высокого порядка, чем Δt. Рассуждая аналогично, можно определить и другие вероятности перехода p_qq (t, t+Δt).

Переход	Вероятность

Так как вектор вероятностей простой цепи Маркова в момент времени ti равен произведению вектора вероятностей в момент времени t(i-1) на матрицу переходов, получим систему уравнений:

Разделим на ∆t и перейдем к пределу при ∆t→0.

Для системы, проработавшей длительное время,

тогда

Из первого уравнения .

Из второго, учитывая последнее равенство,

Аналогично, из третьего уравнения находим

Таким образом,

Подставим полученное уравнение в последнее равенство системы:

Вычислим основные вероятностные характеристики системы:

1. Математическое ожидание числа требований в системе.

2. Математическое ожидание числа требований в узле обслуживания.

s – число приборов;

qmax – максимальное число требований в системе.

3. Математическое ожидание числа требований в очереди

4. Математическое ожидание числа свободных приборов

5. Вероятность отказа

Пример.

Перед обслуживающим прибором расположен накопитель, в который поступают заявки. Если в накопителе уже находятся 2 заявки, то очередная передается на другой прибор. Интенсивность потока заявок – 2 заявки в минуту, среднее время обслуживания – 20с, n=3. Вычислить основные вероятностные характеристики системы.

Решение.